Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn: Khái Niệm, Công Thức Và Ví Dụ

Tổng cấp số cộng lùi vô hạn là một khái niệm toán học liên quan đến việc tính tổng của một dãy số có số hạng đầu tiên là 1 và các số hạng sau đó được thu được bằng cách nhân với một tỷ lệ r. Nếu r là một số thực nằm trong khoảng (-1, 1), thì tổng của dãy số này sẽ hội tụ về một giá trị xác định. Nếu r nằm ngoài khoảng này, thì tổng của dãy số này sẽ không hội tụ và phụ thuộc vào giá trị của r.

Tổng cấp số cộng lùi vô hạn có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như toán học tài chính, lý thuyết xác suất, lý thuyết thông tin, vật lý lượng tử và nhiều lĩnh vực khác. Trong bài viết này, Hocvn sẽ giới thiệu về khái niệm, công thức và ví dụ của tổng cấp số cộng lùi vô hạn.

Khái niệm tổng cấp số cộng lùi vô hạn

Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn
Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn

Một dãy số được gọi là cấp số cộng nếu tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số. Tỉ số này được gọi là công bội hoặc tỷ lệ của dãy số. Ví dụ, dãy số 2, 4, 6, 8, … là một cấp số cộng với công bội là 2.

Một dãy số được gọi là cấp số cộng lùi nếu nó được tạo ra bằng cách đảo ngược thứ tự của một cấp số cộng. Ví dụ, dãy số 8, 6, 4, 2, … là một cấp số cộng lùi được tạo ra từ dãy số 2, 4, 6, 8, … bằng cách đảo ngược thứ tự.

Một dãy số được gọi là cấp số cộng lùi vô hạn nếu nó có vô hạn số hạng và là một cấp số cộng lùi. Ví dụ, dãy số …, 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1 là một cấp số cộng lùi vô hạn với công bội là 2.

Tổng của một dãy số là kết quả của phép tính cộng tất cả các số hạng của dãy số đó. Ví dụ, tổng của dãy số 1, 2, 3, 4 là 10.

Tổng của một dãy số có thể được tính bằng công thức sau:

Trong đó:

  • Sn​ là tổng của n số hạng đầu tiên của dãy số.
  • a1​ là số hạng đầu tiên của dãy số.
  • a2​ là số hạng thứ hai của dãy số.
  • a3​ là số hạng thứ ba của dãy số.
  • an​ là số hạng thứ n của dãy số.

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng có thể được tính bằng công thức sau:

Trong đó:

  • Sn​ là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
  • a1​ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
  • an​ là số hạng thứ n của cấp số cộng.
  • n là số lượng số hạng của cấp số cộng.

Tổng của một cấp số cộng lùi vô hạn có thể được tính bằng công thức sau:

Trong đó:

  • S là tổng của cấp số cộng lùi vô hạn.
  • a1​ là số hạng đầu tiên của cấp số cộng lùi vô hạn.
  • r là công bội hoặc tỷ lệ của cấp số cộng lùi vô hạn.

Điều kiện để công thức này có giá trị là r phải nằm trong khoảng (-1, 1). Nếu r nằm ngoài khoảng này, thì tổng của cấp số cộng lùi vô hạn sẽ không hội tụ và phụ thuộc vào giá trị của r. Ví dụ, nếu r=2, thì tổng của cấp số cộng lùi vô hạn …, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, … sẽ bằng vô cực. Nếu r=−1, thì tổng của cấp số cộng lùi vô hạn …, -1/4, 1/2, -1, 2, -4, … sẽ không xác định.

Có bất kỳ ứng dụng thực tế nào của tổng cấp số cộng lùi vô hạn không?

Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn
Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn

Có nhiều ứng dụng thực tế của tổng cấp số cộng lùi vô hạn trong các lĩnh vực như toán học tài chính, lý thuyết xác suất, lý thuyết thông tin, vật lý lượng tử và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ:

  • Khi bạn vay tiền ở ngân hàng, ví dụ với lãi suất 4.5% một năm. Cách họ tính ra số tiền bạn phải trả nếu khoản vay là 25 năm là một xấp xỉ khá tốt của một tổng cấp số cộng lùi vô hạn.
  • Cách bạn tính ra số bê tông cần thiết để xây dựng một cây cầu sử dụng tổng cấp số cộng lùi vô hạn.
  • Bất kỳ xấp xỉ số nào của các “thực tế” đều sử dụng tổng cấp số cộng lùi vô hạn.
  • Khi bạn uống thuốc, bạn có thể sử dụng tổng cấp số cộng lùi vô hạn để tính ra lượng thuốc trong cơ thể của bạn, nếu bạn biết lịch định liều và lượng thuốc và tốc độ phân rã của thuốc trong cơ thể.
  • Khi bạn chuyển đổi một phân số thập phân sang nhị phân, bạn có thể sử dụng tổng cấp số cộng lùi vô hạn để biểu diễn phần sau dấu phẩy của phân số nhị phân bằng một chuỗi các chữ số 0 và 1
Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn
Tổng Cấp Số Cộng Lùi Vô Hạn

Trong bài viết này, Hocvn đã giới thiệu về khái niệm, công thức và ví dụ của tổng cấp số cộng lùi vô hạn. Hi vọng rằng bài viết này hữu ích với bạn!

Related Posts

[GIẢI ĐÁP] 2 Giờ 12 Phút Bằng Bao Nhiêu Giờ?

2 Giờ 12 Phút Bằng Bao Nhiêu Giờ ? Trong bài viết này, Hocvn sẽ giải thích cách chuyển đổi từ phút sang giờ, và áp dụng…

[GIẢI ĐÁP] Hoành Độ Là X Hay Y ?

Hoành Độ Là X Hay Y là điều mà nhiều người thắc mắc. Điều này sẽ được Hocvn giải đáp trong bài viết sau. Mời bạn đọc…

[GIẢI ĐÁP] Cos X Là Hàm Số Chẵn Hay Lẻ?

Cos X Là Hàm Số Chẵn Hay Lẻ? Trong toán học, hàm số chẵn và hàm số lẻ là những khái niệm quan trọng, liên quan đến…

[GIẢI ĐÁP] 135 Giây Bằng Bao Nhiêu Phút ?

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường sử dụng các đơn vị đo thời gian như giây, phút, giờ, ngày, tuần, tháng, năm… để biểu diễn…

[GIẢI ĐÁP] 4 Phút 20 Giây Bằng Bao Nhiêu Giây?

Bạn có bao giờ thắc mắc rằng 4 phút 20 giây bằng bao nhiêu giây không? Đây là một câu hỏi đơn giản nhưng cũng có thể…

[HƯỚNG DẪN] Cách Tính Diện Tích Đáy Hình Lăng Trụ Đứng

Mời bạn đọc cùng Hocvn tìm hiểu về Cách Tính Diện Tích Đáy Hình Lăng Trụ Đứng trong bài viết sau. Hình lăng trụ đứng là một…