Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

toan 12
Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Bài 1. Cho hàm số:

\(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 ( a ≠ 0)\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)  = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng \(S\) và tích \(P\) của các nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của \(S\) và \(P\) theo \(a\).

Trả lời:

Ta có:

\(f(x) = ax^2– 2(a + 1)x + a + 2 = (x – 1)(ax – a- 2)\) nên phương trình \(f(x) = 0\) luôn có hai nghiệm thực là:

\(x = 1, x = {{a + 2} \over a}\)

Theo định lí Vi-et, tổng và tích của các nghiệm đó là:

 \(S = {{2a + 2} \over a},P = {{a + 2} \over a}\)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\)

– Tập xác định : \((-∞, 0)∪ (0, +∞)\)

– Sự biến thiên: \(S’ =  – {2 \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in ( – \infty ,0) \cup (0, + \infty )\) nên hàm số nghịch biến trên hai khoảng \((-∞, 0)\) và \((0, +∞)\)

– Cực trị: Hàm số không có cực trị

– Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to – \infty } S = \mathop {\lim }\limits_{a \to – \infty } (2 + {2 \over a}) = 2 \cr} \)

Vậy \(S = 2\) là tiệm cận ngang

– Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ + }} (2 + {2 \over a}) = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ – }} S = \mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ – }} (2 + {2 \over a}) = – \infty \cr} \)

Vậy \(a = 0\) là tiệm cận đứng.

– Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị không cắt trục tung, cắt trục hoành tại \(a = -1\)

2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash {\rm{\{ }}0\} \)

\(S’ = {{ – 2} \over {{a^2}}} < 0,\forall a \in D\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to {0^ – }} S =  – \infty  ⇒ \)Tiệm cận đứng: \(a = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{a \to  \pm \infty } S = 1⇒\) Tiệm cận ngang: \(S = 1\)

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Ngoài ra: đồ thị hàm số \(P = {{a + 2} \over a} = 1 + {2 \over a}\) có thể nhận được bằng cách tịnh tiến đồ thị \(S = {{2a + 2} \over a} = 2 + {2 \over a}\) dọc theo trục tung xuống phía dưới \(1\) đơn vị.

 

==============

Bài 2. Cho hàm số: \(y =  – {1 \over 3}{x^3} + (a – 1){x^2} + (a + 3)x – 4\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi \(a = 0\)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng \(y = 0, x = -1, x = 1\)

Trả lời:

a) Khi \(a = 0\) ta có hàm số: \(y =  – {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4\)

– Tập xác định : \((-∞, +∞)\)

– Sự biến thiên: \(y’= -x^2 – 2x + 3\)

\(y’=0 ⇔ x = 1, x = -3\)

Trên các khoảng \((-∞, -3)\) và \((1, +∞), y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Trên khoảng \((-3, 1), y’ > 0\)

_ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), \({y_{CD}} = {{ – 7} \over 3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = -3\), \({y_{CT}} =  – 13\)

_ giới hạn vô cực : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  – \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty }  =  + \infty \)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị cắt trục tung tại \(y = -4\)

Đồ thị cắt trục hoành tại \(x ≈ 5, 18\)

b) Hàm số \(y =  – {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4\) đồng biến trên khoảng \((-3, 1)\) nên:

\(y < y(1) = {{ – 7} \over 3} < 0\),  \(∀x ∈ (-1, 1)\)

Do đó , diện tích cần tính là:

\(\int_{ – 1}^1 {( – {1 \over 3}{x^3} – {x^2} + 3x – 4} )dx = {{26} \over 3}\)

 

 

================

Bài 3: Cho hàm số : y = x3 + ax2 + bx + 1

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B(-2, -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị  tìm được của a và b.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) quanh trục hoành.

Trả lời:

a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1, 2) và B (-2, -1) khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
2 = 1 + a + b + 1 \hfill \cr
– 1 = – 8 + 4a – 2b + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
b = – 1 \hfill \cr} \right.\)

b) Khi a = 1, b = -1 ta có hàm số: y = x3 + x2 – x + 1

_ Tập xác định: (-∞, + ∞)

_ Sự biến thiên: y’ = 3x2 + 2x – 1

y’= 0 ⇔ x = -1, x = \({1 \over 3}\)

Trên các khoảng (-∞, -1) và \(({1 \over 3}, + \infty )\) , y’>0 nên hàm số đồng biến

Trên khoảng \(( – 1,{1 \over 3})\)  , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1, yCD = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {1 \over 3},{y_{CT}} = {{22} \over {27}}\)

_ Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y =  – \infty \)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, cắt trục hoành tại x ≈ -1, 84

c) Trong khoảng (0, 1) ta có y > 0.

Vì vậy, thể tích cần tìm là:

\(V = \pi \int_0^1 {({x^3}}  + {x^2} – x + 1{)^2}dx = {{134\pi } \over {105}}\)

 

=================

Bài 4. Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:

\(s(t) = {1 \over 4}{t^4} – {t^3} + {{{t^2}} \over 2} – 3t\)

Trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng \(m\).

a) Tính \(v(2), a(2)\), biết \(v(t), a(t)\) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho

b) Tính thời điểm \(t\) mà tại đó vận tốc bằng \(0\).

Trả lời:

a) Ta có:

\(v(t) = s’(t) = {t^{3}} – 3{t^2} + t – 3\)

\(a(t) = s’’(t) = 3t^2 – 6t + 1\)

Do đó: \(v(2) = -5; a(2) = 1\)

b) \(v(t) = 0 ⇔ t^3– 3t^2 + t – 3\)

\(⇔ t = 3\)

Vậy tại thời điểm \( t  = 3\) thì vận tốc bằng \(0\).

=============

Bài 5: Cho hàm số: y = x4 + ax2 + b

a) Tính a, b để hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi x = 1

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a = {{ – 1} \over 2},b = 1\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1

Trả lời:

Ta có: y’ = 4x+ 2ax

a) Nếu hàm số có cực trị bằng \({3 \over 2}\) khi x = 1 thì:

\(\left\{ \matrix{
y'(1) = 0 \hfill \cr
y(1) = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4 + 2a = 0 \hfill \cr
1 + a + b = {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 2 \hfill \cr
b = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

b) Khi \(a = {{ – 1} \over 2},b = 1\) ta có hàm số: \(y = {x^4} – {1 \over 2}{x^2} + 1\)

_ Tập xác định: (-∞, +∞)

_ Sự biến thiên: y’ = 4x– x = x(4x2 – 1)

y’ = 0 ⇔ x = 0, \(x =  \pm {1 \over 2}\)

Trên các khoảng \(({{ – 1} \over 2},0) \cup ({1 \over 2}, + \infty )\) , y’ > 0 nên hàm số đồng biến

Trên các khoảng \(( – \infty ,{{ – 1} \over 2}) \cup (0,{1 \over 2})\) , y’ < 0 nên hàm số nghịch biến

_ Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCD = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm {1 \over 2},{y_{CT}} = {{15} \over {16}}\)

Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị cắt trục tung tại điểm y = 1, không cắt trục hoành.

c) Với y = 1 ta có phương trình:

\({x^4} – {1 \over 2}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0, \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \right\}\)

Trên đồ thị có 2 điểm với tung độ bằng 1 là:

\({M_1}({{ – 1} \over {\sqrt 2 }},1);{M_2}(0,1);{M_3}({1 \over {\sqrt 2 }},1)\)

Ta lấy y’(0) = 0 nên tiếp tuyến với đồ thị tại M2 có phương trình là y = 1

Lại có:

\(y'({1 \over {\sqrt 2 }}) = {1 \over {\sqrt 2 }};y'({1 \over {\sqrt 2 }}) = {{ – 1} \over {\sqrt 2 }}\)

\(y = {{ – 1} \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2} \Leftrightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }}x + {1 \over 2}\)

 

==============

Bài 6: Cho hàm số \(y = {{x – 2} \over {x + m – 1}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ a ≠ -1.

Trả lời:

a) Khi m = 2, ta có hàm số: \(y = {{x – 2} \over {x + 1}}\)

_ Tập xác định: (-∞, -1) ∪ (-1, +∞)

_ Sự biến thiên: \(y’ = {3 \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \in ( – \infty , – 1) \cup (1, + \infty )\)

nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

_ Hàm số không có cực trị

_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x – 2} \over {x + 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {{x – 2} \over {x + 1}} = 1\)

Nên x = -1 là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị cắt trục tung tại y = -2, cắt trục hoành tại x = 2

b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a≠-1 có phương trình:

\(y = y'(a)(x – a) + y(a) = {3 \over {{{(a + 1)}^2}}}(x – a) + {{a – 2} \over {a + 1}}\)

 

===============

Bài 7: Cho hàm số \(y = {2 \over {2 – x}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.

Trả lời:

a) _ Tập xác định: (-∞, 2) ∪(2, +∞)

_ Sự biến thiên: \(y’ = {2 \over {{{(2 – x)}^2}}} > 0,\forall x \in ( – \infty ,2) \cup (2, + \infty )\)

Nên hàm số đồng biến trên hai khoảng này.

_ Hàm số không có cực trị

_ Giới hạn tại vô cực và tiệm cận ngang

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {2 \over {2 – x}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  – \infty } {2 \over {2 – x}} = 0\)

Nên y = 0 là tiệm cận ngang.

_ Giới hạn vô cực và tiệm cận đứng:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} ({2 \over {2 – x}}) =  – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} ({2 \over {2 – x}}) =  + \infty \)

Nên x = 2 là tiệm cận đứng.

_ Bảng biến thiên:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Giải bài tập SGK Ôn tập cuối năm Giải tích 12 thuộc chương 1

Đồ thị hàm số:

Đồ thị cắt trục tung tại y = 1, không cắt trục hoành.

b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm:

\({2 \over {2 – x}} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^3} – 2{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0,1} \right\}\)

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm M1 (0, 1), M2(1, 2)

Tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = {2 \over {2 – x}}\) tại điểm M1 có phương trình là: \(y = {1 \over 2}x + 1\)

Tiếp tuyến  tại điểm M2 có phương trình y = 2(x – 1) + 2 = 2x

c) Trong khoảng (0, 1) đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành nên thể tích cần tính là :

\(V = \pi \int_0^1 {({2 \over {2 – x}}} {)^2} = 2\pi \)

 

==================

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]\)

b) \( f(x) = x^2lnx\) trên đoạn \(\left[ {1,e} \right]\)

c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0, +∞)\)

d) \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\)

Trả lời:

a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)

\(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)

So sánh các giá trị:

\(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);

\(f(2) = -19\), \(f({5 \over 2}) = {{ – 33} \over 2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( – 1) = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = – 19 \cr} \)

b) \(f(x) = x^2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.

Do đó:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)

c) \(f(x)= xe^{-x}⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:

\(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)

nên:

 \(\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}\)

Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ (0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra

\(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)

d) \(f(x) = 2sinx + sin2x  ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x\)

\(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)

⇔ \(x \in \left\{ { – \pi  + k2\pi ;{\pi  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)

Trong khoảng \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \({x_1} = {\pi  \over 3};{x_2} = \pi \)

So sánh bốn giá trị : \(f(0) = 0\); \(f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) =  – 2\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = – 2 \cr} \)

 

===============