Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập 9,10,11,12 ôn tập Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

toan 12
Giải bài tập 9,10,11,12 ôn tập Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 9. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M( 1 ; -1 ; 2)\) trên mặt phẳng \((α): 2x – y + 2z +11 = 0\)

Giải

Giải bài tập 9,10,11,12 ôn tập Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Điểm \(H\), hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mp \((α)\) chính là giao điểm của đường thẳng \(∆\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((α)\). Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2; -1; 2)\).

Đường thẳng \(∆\) vuông góc với mp\( (α)\) nhận \(\overrightarrow n \) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của \(∆\):

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 2 + 2t \hfill \cr} \right.\)

Thay các biểu thức này vào phương trình \(mp (α)\), ta có:

\(2(1 + 2t) – (-1 – t) + 2(2 + 2t) + 11 = 0 \)

\(\Leftrightarrow   t = -2\).

Từ đây ta được \(H(-3; 1; -2)\).

 

================

Bài 10. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), cho điểm \(M(2 ; 1 ; 0)\) và mặt phẳng \((α): x + 3y – z – 27 = 0\). Tìm toạ độ điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua \((α)\).

Giải

Giải bài tập 9,10,11,12 ôn tập Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(M\) lên mặt phẳng \((α)\) và \(M’\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \((α)\) thì \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(MM’\). Xét đường thẳng \(∆\) qua \(M\) và \(∆\) vuông góc với \((α)\).

Phương trình \(∆\) có dạng:

\(\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr
y = 1 + 3t \hfill \cr
z = – t \hfill \cr} \right.\)

Từ đây ta tìm được toạ độ điểm \(H\) là hình chiếu của \(M\) trên \((α)\).

Thay các tọa độ \(x,y,z\) theo \(t\) từ phương trình \(\Delta\) và phương trình \((\alpha)\) ta được:

\(2+t+3(1+3t)-(-t)-27=0\Rightarrow 11t=22\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow H(4; 7; -2)\)

\(M\) và \(M’\) đối xứng nhau qua \((α)\) nên \(\overrightarrow {MM’}  = 2\overrightarrow {MH} \)

Gọi \((x, y, z)\) là toạ độ của  \(M’\) ta có: \(\overrightarrow {MM’}  = (x – 2; y – 1; z)\);  \(\overrightarrow {MH}  = (2; 6; -2)\)

\(\overrightarrow {MM’} \)=\(2\overrightarrow {MH} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x – 2 = 2.2 \Rightarrow x = 6 \hfill \cr
y – 1 = 2.6 \Rightarrow y = 13 \hfill \cr
z = 2.( – 2) \Rightarrow z = – 4 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow M’ (6; 13; -4)\)

==============

Bài 11. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(∆\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ \((Oxz)\) và cắt hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = – 4 + t \hfill \cr
z = 3 – t \hfill \cr} \right.\)

\(d’:\left\{ \matrix{
x = 1 – 2k \hfill \cr
y = – 3 + k \hfill \cr
z = 4 – 5k. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Gọi \(M\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\), toạ độ của \(M\) là \(M( t; -4 + t; 3 – t)\). \(N\) là điểm thuộc đường thẳng \(d’\), toạ độ của \(N\) là \(N(1 – 2k; -3 + k; 4 – 5k)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}= (1 – 2k – t; 1 + k – t; 1 – 5k + 1)\)

Vì \(MN ⊥ (Oxz)\) nên \(MN ⊥ Ox\) và \(MN ⊥ Oz\)

\(Ox\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i = (1; 0; 0)\);

\(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow j  = (0; 0; 1)\).

\(MN ⊥ Ox\)

\( \Leftrightarrow (1 – 2k – t).1 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t).0\)

\(= 0\)

\( \Leftrightarrow 1 – 2k – t = 0\)                                           (1)

\(MN ⊥ Oz\)

\( \Leftrightarrow (1 – 2k – t).0 + (1 + k – t).0 + (1 – 5k + t) = 0\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

\(\left\{ \matrix{
1 – 2k – t = 0 \hfill \cr
1 – 5k + t = 0 \hfill \cr} \right.\)

Hệ này cho ta \(k = {2 \over 7}\); t =\({3 \over 7}\)

và được toạ độ của M\(\left( {{3 \over 7}; – {{25} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\) , N\(\left( {{3 \over 7}; – {{19} \over 7};{{18} \over 7}} \right)\)

Từ đây ta có \(\overrightarrow {MN} = (0; 1; 0)\) và được phương trình đường thẳng \(MN\) là:

\(\left\{ \matrix{
x = {3 \over 7} \hfill \cr
y = – {{25} \over 7} + t \hfill \cr
z = {{18} \over 7} \hfill \cr} \right.\)

============

Bài 12. Trong hệ toạ độ \(Oxyz\), tìm toạ độ điểm \(A’\) đối xứng với điểm \(A(1 ; -2 ; -5)\) qua đường thẳng \(∆\) có phương trình

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 1 – t \hfill \cr
z = 2t. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên đường thẳng \(△\). Khi đó \(H\) là trung điểm của \(AA’\).

Xét mặt phẳng \((P)\) qua \(A\) và \((P) ⊥ △\). Khi đó \(H = (P) ⋂ △\).

Vì \(\overrightarrow u (2; -1; 2)\) là vectơ chỉ phương của \(△\) nên \(\overrightarrow u \) là vectơ pháp tuyến của \((P)\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) có dạng: \(2(x – 1) – (y + 2) + 2(z + 5) = 0\)

hay \(2x – y + 2z + 6 = 0\)                                                          (1)

Để tìm giao điểm \(H = (P) ⋂ △\). Thay toạ độ \(x, y, z\) trong phương trình của \(△\) vào (1), ta có: \(2(1 + 2t) + (1 + t) + 4t + 6 = 0\)

\( \Rightarrow 9t + 9 = 0\Rightarrow  t = -1\) \( \Rightarrow  H(-1; 0; -2)\).

Từ đó ta tìm được \(A'(-3; 2; 1)\)