Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 7,8 – Hình học 12

toan 12
Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 7,8 – Hình học 12

Bài tập 7 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a; BC = 6A; CA=7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc bằng 600. Tình thể tích khối chóp đó.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 7,8 – Hình học 12

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh BC, CA, AB. Xét các tam giác vuông: SHA’, SHB’, SHC’ có:

\(\widehat{SA’H}=\widehat{SB’H}=\widehat{SC’H}=60^0\) (vì các góc này chính là các góc của mặt bên và mặt đáy ABC)

Từ các tam giác vuông đó dễ dàng suy ra \(SC’=SA’=SB’\) nên HA’ = HB’= HC’ ⇒ H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Mặt khác diện tích của tam giác ABC có thể tính theo công thức:

\(S_{\Delta ABC}=\sqrt{(p-AB)(p-AC)(p-BC).p}\)

Với \(p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{5a+6a+7a}{2}=9a\)

Do đó: \(S_{\Delta ABC}=\sqrt{(9a-5a)(9a-6a)(9a-7a)p}=\sqrt{216a^4}=6a^2\sqrt{6}\)

Vì \(S_{\Delta ABC}=p.r\) (r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

\(\Rightarrow r=\frac{6a^2\sqrt{6}}{9a}=\frac{2a\sqrt{6}}{3}\)

Xét tam giác vuông SHA’, ta có: \(tan 60^0=\frac{SH}{HA’}\Rightarrow SH=r.tan60^0\)

\(\Rightarrow SH=\frac{2a\sqrt{6}}{3}.\sqrt{3}=2\sqrt{2}a\)

Do đó thể tích của khối chóp S.ABC là:

\(V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S._{\Delta ABC}.SH=\frac{1}{3}.6.a^2\sqrt{6}. 2\sqrt{2}a=8\sqrt{3}a^3\)

========================

Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB’\perp SB, AD’\perp SD\). Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 7,8 – Hình học 12

Dựng điểm C’ như hình vẽ.

Ta có: \(BC\perp AB\) (giả thiết)  (1)

Mặt khác: \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BC\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(BC\perp (SAB)\)

\(\Rightarrow BC\perp AB’\)       (3)

Ta có: \(AB’\perp SB\) (giả thiết)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra suy ra \(AB’\perp (SBC)\)

Hay ta có được \(AB’\perp BC’\)

\(\Leftrightarrow \Delta AB’C’\) vuông tại B’

Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\Delta AD’C’\) vuông tại D’

Ta có: \(AB’\perp SC;AD’\perp SC\)

(vì \(AB’\perp (SBC), AD’\perp (SDC)\))

Nên \(SC\perp (AB’C’D’)\). Vì vậy:

\(V_{S.AB’C’D’}=\frac{1}{3}.S_{AB’C’D’}.SC’=\frac{1}{3} \left [ S_{\Delta AB’C’}+S_{\Delta AD’C’} \right ].SC’\)

\(=\frac{1}{6}\left [ AB’.B’C’+AD’.D’C’ \right ].SC’ \ \ (*)\)

Ta có:

\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} \Rightarrow AB^2=\frac{a^2.c^2}{a^2+c^2}\Rightarrow AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)

Tương tự: \(AD’^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Rightarrow AD’=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\)  (6)

\(\frac{1}{AC’^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}= \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)

\(\Rightarrow AC’^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\Rightarrow AC’= \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)  (7)

\(\Rightarrow BC’^2=AC’^2-AB’^2=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)

\(=\frac{c^4b^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)

\(\Rightarrow B’C’=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)

Tương tự: \(C’D’=\frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (9); SC’= \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ \ (10)\)

Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:

\(V_{S.AB’C’D’}=\)

\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\).\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

\(=\frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2+b^2+c^2} \left [ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \right ]\)