Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 5,6 – Hình học 12
Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 5,6 – Hình học 12
Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 5,6 – Hình học 12
****************
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = a, OB = b, OC = c. Hãy tính đường cao OH của hình chóp.
Hướng dẫn giải chi tiết bài 5
Gọi I là hình chiếu của O lên AB. Vì OC vuông góc với OA và OB nên \(OC\perp (OAB)\Rightarrow OC\perp AB\).
Từ đó ta suy ra: \(AB\perp (COI)\).
Vậy H là hình chiếu của O lên CI.
Trong tam giác vuông AOB ta có:
\(\frac{1}{OI^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} \ \ \ (1)\)
Trong tam giác vuông COI ta có: \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OI^2}+\frac{1}{OC^2} \ \ (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2} + \frac{1}{OC^2} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)
\(=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}\)
\(\Leftrightarrow OH=\frac{abc}{\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}}\)
Nhận xét: Ta có thể tính OH từ mối liên hệ:
\(V_{O.ABC}=\frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}.OH.S_{\Delta ABC}\)
=======================
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB bằng a. Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA.
a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.DBC và S.ABC
b) Tính thể tích khối chóp S.DBC
Hướng dẫn giải chi tiết bài 6
Câu a:
Ta có: AB = BC = CA = a
Gọi O là hình chiều vuông góc của (S) lên (ABC)
Khi đó ta có: \(\widehat{SBO}=\widehat{SCO}=\widehat{SAO}=60^0\)
\(\Rightarrow \Delta SOA=\Delta SOB=\Delta SOC\)
\(\Rightarrow OA=OB=OC\) hay O là tâm của tam giác đều ABC.
Trong các tam giác SOA, SOB, SOC. Ta có:
\(SA=SB=SC=2OA=2.\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\)
\(SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=a\)
Gọi I là trung điểm của BC, ta có: \(ID\perp SA\)
Nên \(ID. SA=SO.IA\Rightarrow ID=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{2a\sqrt{3}}{3}}= \frac{3}{4}a\)
Xét tam giác vuông IDA, ta có:
\(DA=\sqrt{IA^2-ID^2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SD=\frac{2a\sqrt{3}}{3}- \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{5a\sqrt{3}}{12}\)
Mặt khác:
\(\frac{V_{S.ABC}}{V_{S.DBC}}=\frac{V_{S.DBC}+V_{A.BCD}}{V_{SDBC}}= 1+\frac{AD}{SD}\)
\(=1+\frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{5a\sqrt{3}}{12}}=\frac{8}{5}\Rightarrow \frac{V_{S.DBC}}{V_{S.ABC}}=\frac{5}{8}\)
Câu b:
Ta có:
\(V_{S.DBC}=\frac{1}{3}SD.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{5a\sqrt{3}}{12}. \frac{1}{2}.\frac{3}{4}a.a=\frac{5a^3\sqrt{3}}{96}\)
\(\Rightarrow V_{SABC}=\frac{8}{5}.\frac{5a\sqrt{3}}{96}=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}\)