Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 11,12 – Hình học 12

toan 12
Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 11,12 – Hình học 12

Bài tập 11 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB’ và DD’. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số của hai khối đa diện đó.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 11

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 11,12 – Hình học 12

Trước hết, ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi mp (CEF). Mặt phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của CC’ nên EF chứa giao điểm O của các đường chéo hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) cùng chứa giao điểm O của các đường chéo và nó cũng chứa đường chéo A’C của hình hộp. Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt AA’ ở P và cắt CC’ ở Q.

Ta có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là:

\(V_{ABCD.PEQF}=\frac{1}{2}V_{ABCD.A’B’C’D’}\)   (1)

Ta cũng chứng minh được một cách dễ dàng:

\(V_{CFQE}=V_{AFPE}\)  (2)

(Hai hình chóp CFQE và A’FPE có chiều cao bằng nhau và diện tích đáy bằng nhau)

Xét khối đa diện ABCDE’F do mặt phẳng (CEF) chia ra trên hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có:

\(V_{ABCD.FA’EQ}=V_{ABCD.FPE}+V_{A’FPE}\)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

\(V_{ABCD.FA’EQ}=\frac{1}{2}.V_{ABCD.A’B’C’D’}\)

Vậy mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1.

Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) chứa điểm O nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm O. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

=======================

Bài tập 12 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M là trung điểm A’B’, N là trung điểm BC.

a) Tính thể tích khối tứ diện BC.

b) Mặt phẳng (DMN) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi (H) là khối đa diện chứa đỉnh A, (H) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{V_{(H)}}{V_{(H’)}}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 12

Giải bài tập SGK Ôn Chương 1 bài 11,12 – Hình học 12

Câu a:

Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bằng a và diện tích AND bằng \(\frac{a^2}{2}\)

\(V_{ADMN}=\frac{1}{3}a.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3}{6}\)

Câu b:

Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(DMN).

Do (ABCD) // (A’B’C’D’) nên (DMN) cắt (A’B’C’D’) theo một giao tuyến song song với DN. Ta dựng thiết diện như sau:

– Từ M kẻ đường thẳng song song với DN, đường này cắt cạnh A’D’ tại điểm P và cắt đường thẳng C’B’ tại điểm Q. Trong mặt phẳng (BCC’B’) thì QN cắt cạnh BB’ tại điểm R; đa giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN).

– Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện ABNDPMR. Thể tích này có thể coi là thể tích của ba hình chóp.

V1 là thể tích hình chóp đáy ABND, đỉnh M;

V2 là thể tích hình chóp đáy AA’PD, đỉnh M;

V3 là thể tích hình chóp đáy NRB, đỉnh M

Hình chóp M.ABND, có đường cao bằng a, diện tích đáy là hình thang ABND là:

\(\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{2}+a \right ).a=\frac{3a^2}{4}\)

Suy ra: \(V_1=\frac{1}{3}.\frac{3a^2}{4}.a\Rightarrow V=\frac{a^3}{4}\)

Dễ thấy \(A’P=\frac{a}{4}\). Hình chóp M.AA’PD có chiều cao \(\frac{a}{2}\) và diện tích hình thang AA’PD là: \(\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{4}+a \right )a=\frac{5a^2}{8}\)

Suy ra: \(V_2=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{5a^2}{8}\Rightarrow V_2= \frac{5a^2}{48}\)

Dễ thấy \(BR=\frac{2}{3}a\). Diện tích tam giác NRB là: \(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}a.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{6}\)

Hình chóp M.NRB có chiều cao \(\frac{a}{2}\) và diện tích đáy \(\frac{a^2}{6}\) nên:

\(V_2=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a^2}{6}\Rightarrow V_3=\frac{a^3}{36}\)

\(V_{ABNDPMR}=V_1+V_2+V_3= \frac{5a^3}{48}+\frac{a^3}{4}+\frac{a^3}{36}=\frac{55a^3}{144}\)

Thể tích phần còn lại là: \(\frac{144a^3}{144}-\frac{55a^3}{144}=\frac{89a^3}{144}\)

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: \(\frac{55}{89}\)