Giải bài tập SGK ôn chương 1 Giải tích 12 từ bài 1 đến bài 5 trang 45

Giải bài tập SGK ôn chương 1 Giải tích 12 từ bài 1 đến bài 5 trang 45

Giải bài tập SGK ôn chương 1 Giải tích 12 từ bài 1 đến bài 5 trang 45

**********

Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12

Phát biểu các điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

\(y=-x^3+2x^2-x-7\); \(y=\frac{x-5}{1-x}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
• Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
• Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số:

• Xét hàm số \(y=-x^3+2x^2-x-7\).

Tập xác định: D=R

\(y’=-3x^2+4x-1,y’=0\Leftrightarrow -3x^2+4x-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\\ x=\frac{1}{3} \end{matrix}\)

Xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng

• Xét hàm số \(y=\frac{x-5}{1-x}\).

Tập xác định: D=R \ {1}.

\(y’=\frac{1-x+x-5}{(1-x^2)^2}=\frac{-4}{(1-x)^2}<0 \ \ \ \forall x\in R \setminus \left \{ 1 \right \}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((1; +\infty )\)

Bài tập 2 trang 45 SGK Giải tích 12

Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Các cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc 1:

• Tìm tập xác định.
• Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
• Lập bảng biến thiên.
• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

• Tìm tập xác định.
• Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).
• Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .

♦ Chú ý: nếu \(f”(x_i)=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại .

Tìm cực trị của hàm số \(y=x^4-2x^2+2\):

Xét hàm số: \(y=x^4-2x^2+2\)

Tập xác định: D=R

\(y’=4x^3-4x,y’=0\Leftrightarrow 4x^3-4x=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-1\\ x=0\\ x=1 \end{matrix}\)

Xét dấy y’:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại  y_CĐ = y(0) = 2; đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 1, giá trị cực tiểu y_CT = y(\(\pm\)1) =1.

Bài tập 3 trang 45 SGK Giải tích 12

Nêu cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Áp dụng để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số: \(y=\frac{2x+3}{2-x}\)

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Cách tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số:

• Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
  • \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
  •  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)
• Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
  • \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
  • \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

Áp dụng tìm tiệm cận của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+3}{2-x}\).

Vì \(\underset{(x\rightarrow +\infty) }{\lim_{x\rightarrow +\infty }}y=\underset{(x\rightarrow +\infty) }{\lim_{x\rightarrow +\infty }} \frac{2x+3}{2-x}=-2\) nên đường thẳng y = -2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\lim_{x\rightarrow 2^-}y=\lim_{x\rightarrow 2^-} \frac{2x+3}{2-x}=+\infty , \lim_{x\rightarrow 2^+}y=\lim_{x\rightarrow 2^+} \frac{2x+3}{2-x}=-\infty\) nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài tập 4 trang 45 SGK Giải tích 12

Nhắc lại sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Gợi ý trả lời bài 4

Sơ đồ chung các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y=f(x)\):

• Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
• Bước 2: Khảo sát sự biến thiên:
  • Xét chiều biến thiên của hàm số:
    •  Tính đạo hàm \(f'(x)\).
    • Tìm các điểm mà tại đó \(f'(x)=0\) hoặc không xác định.
    •  Xét dấu đạo hàm \(f'(x)\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
  • Tìm cực trị của hàm số.
  • Tính các giới hạn \(\lim_{x\rightarrow +\infty }y,\lim_{x\rightarrow -\infty }y\) và các giới hạn có kết quả là vô cực (\(= \pm \infty\)), tìm các đường tiệm cận (nếu có)
• Bước 3: Vẽ đồ thị
  • Xác định các điểm đặc biệt: giao với Ox, Oy điểm có tọa độ nguyên.
  • Nêu tâm đối xứng, trục đối xứng (nếu có).

Chú ý:

• Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm \(I(x_0,f(x_0))\) với \(x_0\) là nghiệm phương trình \(f”(x_0)=0\) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất/bậc nhất nhận giao của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận \(O(0;0)\) làm tâm đối xứng.
• Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng.

Bài tập 5 trang 45 SGK Giải tích 12

Cho hàm số y = 2x² + 2mx + m -1 có đồ thị là (C_m), m là tham số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để hàm số:

– Đồng biến trên khoảng \((-1, +\infty )\).

– Có cực trị trên khoảng \((-1, +\infty )\).

c) Chứng minh rằng (C_m) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 5

Câu a:

Với m = 1. Ta có hàm số: y = 2x² + 2x

1) Tập xác định: R

2) Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: \(y’=4x+2,y’=0\Leftrightarrow 4x+2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Xét dấu y’:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left ( -\frac{1}{2} ;+\infty \right )\), nghịch biến trên khoảng \(\left ( -\infty ;-\frac{1}{2} \right )\).

• Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\frac{1}{2}\), giá trị cực tiểu \(y_{CT}=y\left ( -\frac{1}{2} \right )=-\frac{1}{2}\). Hàm số không có cực đại.
• Giới hạn:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }(2x^2+2x)=+\infty, \lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }(2x^2+2x)=+\infty\)

• Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

Đồ thị cắt Ox tại các điểm (0;0) và (-1;0), cắt Oy tại điểm (0;0).

\(x=-2\Rightarrow y=4\)

\(x=1\Rightarrow y=4\)

Câu b:

Xét hàm số y = 2x² + 2mx + m-1

\(y’=4x+2m,y’=0\Leftrightarrow 4x+2m=0\Leftrightarrow x=-\frac{m}{2}\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra:

i) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-1;+\infty )\) khi \(-\frac{m}{2}\leq -1\Leftrightarrow m\geq 2\).

ii) Hàm số có cực trị trên khoảng \((-1;+\infty )\) khi \(-\frac{m}{2}> -1\Leftrightarrow m< 2\).

Câu c:

Phương trình hoành độ giao điểm của (C_m) với trục hoành:

\(2{x^2} + 2mx + m – 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta ‘ = {m^2} – 2m + 2 = {(m – 1)^2} + 1 > 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)

Vậy: (Cm) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.