Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit

toan 12
Giải bài tập Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài tập 1 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a) \(\small (0,3)^{3x-2} = 1.\)

b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}=25\).

c) \(2^{x^{2}-3x+2}=4\).

d) \((0,5)^{x+7}.(0,5)^{1-2x} = 2.\)

Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Giải bài tập Giải tích 12 Chương 2 Bài 5

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số: với \(0<a\neq 1\) thì \(a^x=a^y\Leftrightarrow x=y\).

Lời giải:

Câu a:

\({(0,3)^{3x – 2}} = 1 \Leftrightarrow {(0,3)^{3x – 2}} = {(0,3)^0} \Leftrightarrow 3x – 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}.\)

Câu b:

\({\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} = 25 \Leftrightarrow {5^{ – x}} = {2^2} \Leftrightarrow x = – 2.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{-2 \right\}.\)

Câu c:

\({2^{{x^2} – 3x + 2}} = 4 \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 3 \end{array} \right..\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{0;3 \right\}.\)

Câu d:

\({(0,5)^{x + 7}}.{(0,5)^{1 – 2x}} = 2 \Leftrightarrow {(0,5)^{8 – x}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ – 1}} \Leftrightarrow 8 – x = – 1 \Leftrightarrow x = 9.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S = \left\{9 \right\}.\)

***************************

Bài tập 2 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a) 32x – 1 + 32x = 108.

b) 2x+1 + 2x – 1 + 2x = 28.

c) 64– 8x – 56 = 0.

d) 3.4x – 2.6= 9x.

Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Giải bài tập Giải tích 12 Chương 2 Bài 5

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Hướng dẫn:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ: đặt ẩn đưa phương trình về phương trình theo 1 ẩn mới.

Xét phương trình: \(a.m^{2f(x)}+b.m^{f(x)}+c=0\)

Đặt \(t=m^{f(x)} \ \ \ (t>0)\), phương trình trở thành: \(a.t^2+b.t+c=0\).

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

\({3^{2x – 1}} + {3^{2x}} = 108 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{.3^{2x}} + {3^{2x}} = 108 \Leftrightarrow \frac{4}{3}{.3^{2x}} = 108.\)

Đặt \(t=3^{2x},t>0\) phương trình trở thành: \(\frac{4}{3}t=108\Leftrightarrow t=81\)

Suy ra: \(3^{2x}=81\Leftrightarrow 3^{2x}=3^4\Leftrightarrow 2x=4\Leftrightarrow x=2.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S=\left \{ 2 \right \}.\)

Câu b:

\(\begin{array}{l} {2^{x + 1}} + {2^{x – 1}} + {2^x} = 28 \Leftrightarrow {2.2^x} + \frac{1}{2}{.2^x} + {2^x} = 28\\ \Leftrightarrow \frac{7}{2}{.2^x} = 28. \end{array}\)

Đặt \(t=2^x,t>0\) phương trình trở thành: \(\frac{7}{2}t = 28 \Leftrightarrow t = 8 \Rightarrow {2^x} = 8 \Leftrightarrow {2^x} = {2^3} \Leftrightarrow x = 3.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 3 \right \}.\)

Câu c:

\({64^x} – {8^x} – 56 = 0 \Leftrightarrow {8^{2x}} – {8^x} – 56 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{8^x}} \right)^2} – {8^x} – 56 = 0.\)

Đặt t = 8,t> 0. Phương trình đã cho trở thành:

t2 – t – 56 = 0 ⇔ t = 8 (nhận) hoặc t = -7 (loại).

Với t=8 ta có: 8x = 8 ⇔ x = 1.

Câu d:

Chia hai vế phương trình cho \(9^x>0\) ta được phương trình tương đương:

\(3.{\left( {\frac{4}{9}} \right)^x} – 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x}} – 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3.{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^x}} \right]^2} – 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} – 1 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x}(t > 0)\), phương trình đã cho trở thành: \(3{t^2} – 2t – 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = – \frac{1}{3}(l) \end{array} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là: \(S=\left \{ 0 \right \}.\)

 

**********************

Bài tập 3 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình lôgarit:

a) log3(5x + 3) = log3( 7x + 5).

b) log(x – 1) – log(2x -11) = log2.

c) log2(x- 5) + log2(x + 2) = 3.

d) log(x2 – 6x + 7) = log(x – 30)

Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Giải bài tập Giải tích 12 Chương 2 Bài 5

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số: Với \(0<a\neq 1\): \(\log_af(x)=\log_a g(x)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=g(x)\\ g(x)>0 \end{matrix}\right.\).

Khi trình bày bài giải như trên ta không cần nêu điều kiện xác định của phương trình.

Ta cũng có thể nêu điều kiện xác định của phương trình trước, khi đó lời giải của bài toán sẽ đơn giản hơn:

\({\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x).\)

Sau khi giải xong ta lấy giao tập các nghiệm thu được và tập xác định ta được nghiệm của phương trình.

Lời giải:

Dưới đây là lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 3:

Câu a:

Phương trình: log3(5x + 3) = log3( 7x + 5).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} 5x + 3 > 0\\ 7x + 5 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > – \frac{3}{5}(*)\)

\({\log _3}\left( {5x + 3} \right) = {\log _3}\left( {7x + 5} \right) \Leftrightarrow 5x + 3 = 7x + 5 \Leftrightarrow x = – 1\) (Không thỏa (*)).

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu b:

Phương trình: log(x – 1) – log(2x -11) = log2

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x – 1 > 0\\ 2x – 11 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{{11}}{2}(*).\)

\(\log (x – 1) – \log (2x – 11) = \log 2\)

\(\Leftrightarrow \log \frac{{x – 1}}{{2x – 11}} = \log 2 \Leftrightarrow \frac{{x – 11}}{{2x – 11}} = 2\)

\(\Leftrightarrow x – 1 = 4x – 22 \Leftrightarrow x = 7\) (Thỏa (*)).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 7 \right \}.\)

Câu c:

Phương trình log2(x- 5) + log2(x + 2) = 3.

Điều kiện: x>5 (*)

\({\log _2}(x – 5) + {\log _2}(x + 2) = 3 \Leftrightarrow {\log _2}(x – 5)(x + 2) = {\log _2}8\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (x – 5)(x + 2) = 8 \Leftrightarrow {x^2} – 3x – 18 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 6\,\,(thoa\,(*))\\ x = – 3\,\,(khong\,thoa\,(*)) \end{array} \right.. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 6 \right \}.\)

Câu d:

Phương trình log(x2 – 6x + 7) = log(x – 30)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} x – 3 > 0\\ {x^2} – 6x + 7 > 0 \end{array} \right.\,(*)\)

\(\begin{array}{l} \log \left( {{x^2} – 6x + 7} \right) = \log \left( {x – 3} \right) \Leftrightarrow {x^2} – 6x + 7 = x – 3\\ \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 5\,\,(thoa\,(*))\\ x = 2\,\,(khong\,thoa\,(*)) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S=\left \{ 5 \right \}.\)

**********************

Bài tập 4 trang 85 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình lôgarit:

a) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 + x -5) = log5x +log\frac{1}{5x}\).

b) \(\small \frac{1}{2}log(x^2 – 4x – 1) = log8x – log4x\).

c) \(log_{\sqrt{2}}x+ 4log_4x + log_8x = 13.\)

Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 2 Bài 5Giải bài tập Giải tích 12 Chương 2 Bài 5

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Phương pháp:

Vận dụng các công thức lôgarit đã học để biết đổi phương trình và sử dụng phương pháp mũ hóa để tìm nghiệm: \(0<a\neq 1\): \(\log_a \ f(x)=b\Leftrightarrow f(x)=a^b\).

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 4 như sau:

Câu a:

\(\small \frac{1}{2}log(x^2 + x -5) = log5x +log\frac{1}{5x}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x – 5 > 0\\ 5x > 0 \end{array} \right.(*)\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{2}log({x^2} + x – 5) = log5x + log\frac{1}{{5x}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}log({x^2} + x – 5) = \log \frac{{5x}}{{5x}}\\ \Leftrightarrow log({x^2} + x – 5) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x – 5 = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + x – 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\,(Thoa\,\,(*))\\ x = – 3\,(Khong\,thoa\,(*)) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left \{ 2 \right \}.\)

Câu b:

\(\small \frac{1}{2}log(x^2 – 4x – 1) = log8x – log4x\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} – 4x – 1 > 0\\ x > 0 \end{array} \right.\,\,(*)\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l} \frac{1}{2}log({x^2} – 4x – 1) = log8x – log4x\\ \Leftrightarrow log({x^2} – 4x – 1) = 2\log \frac{{8x}}{{4x}}\\ \Leftrightarrow log({x^2} – 4x – 1) = \log 4\\ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 1 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} – 4x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\,\,(Khong\,thoa\,(*))\\ x = 5\,(Thoa\,(*)) \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left \{ 5 \right \}.\)

Câu c:

\(log_{\sqrt{2}}x+ 4log_4x + log_8x = 13.\)

Điều kiện xác định: x>0

Khi đó:

\(\begin{array}{l} lo{g_{\sqrt 2 }}x + 4lo{g_4}x + lo{g_8}x = 13\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + \frac{1}{3}{\log _2}x = 12\\ \Leftrightarrow \frac{{13}}{3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = 8\,(thoa\,(*)) \end{array}\)

Vậy tập nghiệm phương trình là \(S=\left \{ 8 \right \}.\)