Giải bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12

Giải bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12

Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\) (m là tham số) có đồ thị là (C_m).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x=-1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x=-2.

Hướng dẫn giải chi tiết

Phân tích đề & Phương pháp giải:

• Với dạng bài tập ở câu a bài 8 ta sẽ ưu tiên sử dụng quy tắc 2 để giải, sau đó thử lại các tham số tìm được xem yêu cầu bài toán có thỏa mãn hay không.
  • Tuy nhiên khi rơi vào các trường hợp sau;
    • Thứ nhất: \(y”(x_0)=0\) với mọi m, không được dùng quy tắc 2 phải chuyển qua dùng quy tắc 1.
    • Thứ hai: Tính đạo hàm cấp 2 phức tạp, nên ưu tiên sử dụng quy tắc 1.
  • Nhắc lại về 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số:
    • Quy tắc 1
      • Tìm tập xác định.
      • Tính \(f'(x)\). Tìm các điểm tại đó\(f'(x)=0\) hoặc \(f'(x)\) không xác định.
      • Lập bảng biến thiên.
      • Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
    • Quy tắc 2
      • Tìm tập xác định.
      • Tính \(f'(x)\). Tìm các nghiệm  của phương trình \(f'(x)=0\).
      • Tính \(f”(x)\) và \(f”(x_i)\) suy ra tính chất cực trị của các điểm .
• Với câu b bài 8, yêu cầu tìm tham số m để đồ thị hàm số đi qua một điểm cho trước, rất đơn giản ta chỉ cần thay tọa điểm đó vào hàm số tương ứng y là tung độ, x là hoành độ, khi đó ta chỉ cần giải phương trình tìm tham số m.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 8 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có:

\(y’ = 3{x^2} + 2(m + 3)x\)

• Cách 1:

\(y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = – \frac{{2(m + 3)}}{3} =-\frac{2}{3}m-2\end{array} \right.\)

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của y’:

Nếu \(- \frac{{2(m + 3)}}{3} > 0,\) ta có bảng biến thiên:

Vây hàm số đạt cực đại tại x=0, không thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra để hàm số đạt cực đại thì \(- \frac{{2(m + 3)}}{3}=-1<0 \Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}.\)

• Cách 2:

Ta có: \(y”=6x+2(m+3);y”(-1)=2m\)

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 nếu: \(\left\{ \begin{array}{l} – \frac{{2(m + 3)}}{3} = – 1\\ y”( – 1) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = – \frac{3}{2}\\ m < 0 \end{array} \right.\)

Thử lại, với \(m=-\frac{3}{2}\) thì x=-1 là điểm cực đại của hàm số.

Câu b:

(C_m) cắt Ox tại tại điểm có hoành độ bằng -2 suy ra tọa độ giao điểm là (-2;0).

Thay vào hàm số ta có:

\(\begin{array}{l} 0 = {( – 2)^3} + (m + 3).{( – 2)^2} + 1 – m \Leftrightarrow 4m + 12 – 8 + 1 – m = 0\\ \Leftrightarrow 3m + 5 = 0 \Leftrightarrow m = – \frac{5}{3}. \end{array}\)

Vậy với \(m=-\frac{5}{3}\) thì (C_m) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=-2