Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12

toan 12
Giải bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(\small x^3 – 3x^2 + 5 = 0\).

b) \(\small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\).

c) \(\small 2x^2 – x^4 = -1\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Nhận xét và phương pháp giải:

Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.

Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.

Lời giải:

Câu a:

Xét hàm số \(y=x^3 – 3x^2 + 5\)

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\)
  • Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: y’ = 3x– 6x = 3x(x – 2); y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 2.
    • Bảng biến thiên:

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12 Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).     b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).   c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\). Hướng dẫn giải chi tiết bài 4 Nhận xét và phương pháp giải: Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.  Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.  Lời giải: Câu a:  Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại ycđ=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1. Đồ thị: Tính đối xứng: y''=6x-6; y''=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.  Câu b:  Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.          Đồ thị hàm số: Tính đối xứng: \(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12     Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.  Câu c:  Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.   Bảng biến thiên: bảng biến thiên câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại ycđ=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0. Đồ thị: Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12                          Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.  Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).

  • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại y=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1.
  • Đồ thị:
    • Tính đối xứng: y”=6x-6; y”=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng.
    • Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5).
    • Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5).
    • Đồ thị của hàm số:

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12 Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).     b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).   c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\). Hướng dẫn giải chi tiết bài 4 Nhận xét và phương pháp giải: Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.  Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.  Lời giải: Câu a:  Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại ycđ=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1. Đồ thị: Tính đối xứng: y''=6x-6; y''=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.  Câu b:  Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.          Đồ thị hàm số: Tính đối xứng: \(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12     Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.  Câu c:  Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.   Bảng biến thiên: bảng biến thiên câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại ycđ=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0. Đồ thị: Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12                          Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.  Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 – 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.

Câu b:

Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 – 2

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .\)
  • Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: y’ = -6x2 + 6x = -6x(x – 1); y’ = 0 ⇔ x = 0,x = 1.
    • Bảng biến thiên:

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12 Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).     b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).   c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\). Hướng dẫn giải chi tiết bài 4 Nhận xét và phương pháp giải: Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.  Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.  Lời giải: Câu a:  Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại ycđ=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1. Đồ thị: Tính đối xứng: y''=6x-6; y''=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.  Câu b:  Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.          Đồ thị hàm số: Tính đối xứng: \(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12     Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.  Câu c:  Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.   Bảng biến thiên: bảng biến thiên câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại ycđ=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0. Đồ thị: Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12                          Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.  Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

  • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại y=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.
  • Đồ thị hàm số:
    • Tính đối xứng: \(y”=-12x+6;y”=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\)
    • Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6).
    • Đồ thị của hàm số:

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12 Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).     b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).   c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\). Hướng dẫn giải chi tiết bài 4 Nhận xét và phương pháp giải: Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.  Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.  Lời giải: Câu a:  Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại ycđ=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1. Đồ thị: Tính đối xứng: y''=6x-6; y''=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.  Câu b:  Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.          Đồ thị hàm số: Tính đối xứng: \(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12     Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.  Câu c:  Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.   Bảng biến thiên: bảng biến thiên câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại ycđ=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0. Đồ thị: Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12                          Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.  Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

 

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 – 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.

Câu c:

Xét hàm số y = f(x) = 2x2 – 2x4

  • Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
  • Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = – \infty .\)
  • Sự biến thiên:
    • Đạo hàm: y’ = 4x – 4x= 4x(1 – x2); y’ = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.
    • Bảng biến thiên:

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12 Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).     b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).   c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\). Hướng dẫn giải chi tiết bài 4 Nhận xét và phương pháp giải: Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.  Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.  Lời giải: Câu a:  Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại ycđ=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1. Đồ thị: Tính đối xứng: y''=6x-6; y''=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.  Câu b:  Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.          Đồ thị hàm số: Tính đối xứng: \(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12     Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.  Câu c:  Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.   Bảng biến thiên: bảng biến thiên câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại ycđ=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0. Đồ thị: Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12                          Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.  Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

  • Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại y=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0.
  • Đồ thị:
    • Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.
    • Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0).
    • Đồ thị của hàm số:

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12 Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau: a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).     b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).   c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\). Hướng dẫn giải chi tiết bài 4 Nhận xét và phương pháp giải: Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.  Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.  Lời giải: Câu a:  Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 2. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0, giá trị cực đại ycđ=y(0)=5; đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực tiểu yct=y(2)=1. Đồ thị: Tính đối xứng: y''=6x-6; y''=0 ⇔ x=1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5). Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu a bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.  Câu b:  Xét hàm số y = -2x3 + 3x2 - 2  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = -6x2 + 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1. Bảng biến thiên: Bảng biến thiên câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=1, giá trị cực đại ycđ=y(1)=-1, hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=-2.          Đồ thị hàm số: Tính đối xứng: \(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\) Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu b bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12     Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.  Câu c:  Xét hàm số y = f(x) = 2x2 - 2x4  Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\) Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\) Sự biến thiên: Đạo hàm: y' = 4x - 4x3 = 4x(1 - x2); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.   Bảng biến thiên: bảng biến thiên câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12  Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)  Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và x=1, giá trị cực đại ycđ=y(-1)=y(1)=1; đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu yct=y(0)=0. Đồ thị: Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0). Đồ thị của hàm số: Đồ thị câu c bài 4 trang 43 SGK Giải tích lớp 12                          Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.  Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

 

Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = -1 như hình bên.

Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.