Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK ôn Chương 4 Số phức

toan 12
Giải bài tập SGK ôn Chương 4 Số phức

Bài 1. Thế nào là phần thực, phần ảo, modun của số phức?

Viết công thức tính môdun của một số phức theo phần thực và phần ảo của nó.

Trả lời:

– Mỗi biểu thức dạng \(a+bi\), trong đó \(a, b ∈ R, i^2= -1\) được gọi làm một số phức.

– Với số phức \(z = a + bi\), ta gọi \(a\) là phần thực, số \(b\) gọi là phần ảo của \(z\).

– Ta có \(z = a + bi\) thì môdun của \(z\) là \(|z| = |a + bi| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

 

==============

Bài 2. Tìm mối liên hệ giữa khái niệm môdun và khái niệm giá trị tuyệt đối của một số thực.

Trả lời:

– Nếu số thực \(x\) là một số thực thì môdun \(x\) chính là giá trị tuyệt đối của số phức \(z\).

– Nếu số phức \(z\) không phải là một số thực thì chỉ có môdun của \(z\), không có khái niệm giá trị tuyệt đối của \(z\).

 

================

Bài 3. Nêu định nghĩa số phức liên hợp của số phức \(z\). Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?

Trả lời:

*Cho  số phức \(z = a + bi\).

Ta gọi số phức \(a – bi\) là số phức liên hợp của \(z\) và kí hiệu là \(\bar z\).

Vậy ta có \(z = a + bi\) thì \(\bar z= a – bi\)

*Số phức \(z\) bằng số phức liên hợp của nó \(⇔ a = a\) và \(b = -b\)

\(⇔ a ∈ R\) và \(b = 0 ⇔ z\) là một số thực.

 

===============

Bài 4. Số phức  thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình a), b), c) sau:

Giải bài tập SGK ôn Chương 4 Số phức

Trả lời:

Giả sử \(z = x + yi\) (\(x,y \in \mathbb R\)), khi đó số phức \(z\) được biểu diễn  bởi điểm \(M(x, y)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\).

a) Trên hình 71.a (SGK), điểm biểu diễn ở phần gạch chéo có hoành độ có hoành độ \(x ≥ 1\), tung độ \(y\) tùy ý.

Vậy số phức có phần thực lớn hơn hoặc bằng \(-1\) có điểm biểu diễn ở hình 71.a (SGK)

b) Trên hình 71.b(SGK), điểm biểu diễn có tung độ \(y ∈ [1, 2]\), hoành độ \(x\) tùy ý.

Vậy số phức có phần ảo thuộc đoạn \([-1, 2]\)

c) Trên hình 71.c (SGK), hình biểu diễn \(z\) có hoành độ \(x ∈ [-1, 1]\) và \(x^2+y^2≤ 4\) (vì \(|z| ≤ 4\)).

Vậy số phức có phần thực thuộc đoạn \([-1, 1]\) và môdun không vượt quá \(2\).

==========

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:

a) phần thực của \(z\) bằng \(1\)

b) phần ảo của \(z\) bằng \(-2\)

c) Phần thực của \(z\) thuộc đoạn \([-1, 2]\), phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([0, 1]\)

d) \(|z| ≤ 2\)

Trả lời:

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là các hình sau:

a) Ta có \(x = 1, y\) tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(x = 1\) (hình a)

Giải bài tập SGK ôn Chương 4 Số phức

b) Ta có \(y = -2, x\) tùy ý nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường thẳng \(y = -2\) (hình b)

c) Ta có \(x ∈ [-1, 2]\) và \(y ∈ [0, 1]\) nên tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là hình chữ nhật sọc (hình c)

Giải bài tập SGK ôn Chương 4 Số phức

d) Ta có:

 \(\left| z \right| \le 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}}  \le 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là hình tròn tâm \(O\) (gốc tọa độ) bán kính bằng \(2\) (kể cả các điểm trên đường tròn) (hình d)

 

==============

Bài 6. Tìm các số thực \(x, y\) sao cho:

a) \(3x + yi = 2y + 1 + (2-x)i\)

b) \(2x + y – 1 = (x – 2y – 5)i\)

Trả lời:

a)

\(\eqalign{
& 3x + yi = (2y + 1)+(2 – x)i \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x = 2y + 1 \hfill \cr
y = 2 – x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

b)

\(\eqalign{
& 2x + y – 1 = (x + 2y – 5)i \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x + y – 1 = 0 \hfill \cr
x + 2y – 5 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

 

==============

Bài 7. Chứng tỏ rằng với mọi số phức \(z\), ta luôn có phần thực và phần ảo của \(z\) không vượt quá môdun của nó.

Trả lời:

Giả sử \(z = a + b\)i

Khi đó: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

Từ đó suy ra:

\(|z| \ge \sqrt {{a^2}}  = |a| \ge a,|z| \ge \sqrt {{b^2}}  = |b| \ge b\)

=========

Bài 8. Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]\)

b) \((4 – 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}}\)

c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2\)

d) \({{3 + i} \over {2 + i}} – {{4 – 3i} \over {2 – i}}\)

Trả lời:

a) \((3 + 2i)[(2 – i) + (3 – 2i)]= (3 + 2i)(5 – 3i) = 21 + i\)

b)

\(\eqalign{
& (4 – 3i) + {{1 + i} \over {2 + i}} = (4 – 3i) + {{(1 + i)(2 – i)} \over 5} = (4 – 3i)({3 \over 5} + {1 \over 5}i) \cr
& = (4 + {3 \over 5}) – (3 – {1 \over 5})i = {{23} \over 5} – {{14} \over 5}i \cr} \)

c) \((1 + i)^2 – (1 – i)^2 = 2i – (-2i) = 4i\)

d)

\(\eqalign{
& {{3 + i} \over {2 + i}} – {{4 – 3i} \over {2 – i}} = {{(3 + i)(2 – i)} \over 5} – {{(4 – 3i)(2 + i)} \over 5} \cr
& = {{7 – i} \over 5} – {{11 – 2i} \over 5} = {{ – 4} \over 5} + {1 \over 5}i \cr} \)

 

==============

Bài 9. Giải tích phương trình sau trên tập số phức

a) \((3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i\)

b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz\)

Trả lời:

a) \((3 + 4i)z = (2 + 5i) – (1 – 3i) = 1 + 8i\)

Vậy \(z = {{1 + 8i} \over {3 + 4i}} = {{(1 + 8i)(3 – 4i)} \over {25}} = {{35} \over {25}} + {{20} \over {25}}i = {7 \over 5} + {4 \over 5}i\)

b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz ⇔ (4 + 7i)z – 6iz  = 5 – 2i\)

\(⇔ (4 + i)z = 5 – 2i\)

\( \Leftrightarrow z = {{5 – 2i} \over {4 + i}} = {{(5 – 2i)(4 – i)} \over {17}} \Leftrightarrow z = {{18} \over {17}} – {{13} \over {17}}i\)

 

=============

Bài 10. Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\)

b) \(z^4– 8 = 0\)

c) \(z^4– 1 = 0\)

Trả lời:

a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\) có \(Δ = 49 – 4.3.8 = -47\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({z_{1,2}} = {{ – 7 \pm i\sqrt {47} } \over 6}\)

b) \(z^4– 8 = 0\)

Đặt \(Z = z^2\), ta được phương trình : \(Z^2 – 8 = 0\)

Suy ra: \(Z = ± \sqrt8\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: \({z_{1,2}} =  \pm \root 4 \of 8 ,{z_{3,4}} =  \pm i\root 4 \of 8 \)

c) \(z^4– 1 = 0\)\(  ⇔ (z^2– 1)(z^2+ 1) = 0\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(±1\) và \(±i\)

===========

Bài 11. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(3\) và tích của chúng bằng \(4\).

Trả lời:

Giả sử hai số cần tìm là \(z_1\) và \(z_2\).

Ta có:     \(z_1 + z_2 = 3\); \(z_1. z_2 = 4\)

Rõ ràng, \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình:

\((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0\)

Vậy  \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình: \(z^2 – 3z + 4 = 0\)

Phương trình có \(Δ = 9 – 16 = -7\)

Vậy hai số phức cần tìm là: \({z_1} = {{3 + i\sqrt 7 } \over 2},{z_2} = {{3 – i\sqrt 7 } \over 2}\)

 

==============

Bài 12. Cho hai số phức \(z_1, z_2\). Biết rằng \(z_1 + z_2\) và \(z_1. z_2\) là hai số thực. Chứng minh rằng \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Trả lời:

Đặt \(z_1 + z_2 = a\); \(z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R\)

Khi đó, \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình

\((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0 ⇔ z^2 – az + b = 0\)

Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.