Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

toan 12
Giải bài tập SGK Bài 4. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7; -8; -12; -20; -121\)

Hướng dẫn giải:

\(± i\sqrt7\) ;        \(± i2\sqrt2\) ;       \(± i2\sqrt3\);      \(± i2\sqrt5\) ;      \(± 11i\).

 

================

Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \( – 3{z^2} +2z – 1 = 0\);          b) \(7{z^2} + {\rm{ }}3z + 2 = 0\);         c) \(5{z^2} -7z+ 11=  0\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \(∆’ = 1 – 3 = -2\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\)= \( \frac{1\pm i\sqrt{2}}{3}\)

b) Ta có \(∆ = 9 – 56 = -47\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{-3\pm i\sqrt{47}}{14}\);

c) Ta có \(∆ = 49 – 4.5.11 = -171\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(z_{1,2}\) = \( \frac{7\pm i\sqrt{171}}{10}\)

 

=============

Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \({z^4} + {z^2}-6= 0\);                 b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(Z = z^2\) , ta được phương trình \(Z^2+ Z – 6 = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm là: \(Z_1= 2, Z_2= -3\)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± \sqrt2\) và \(± i\sqrt3\).

b) Đặt \(Z = z^2\) , ta được phương trình \(Z^2+ 7Z + 10 = 0\)

Phương trình này có hai nghiệm là: \(Z_1= -5, Z_2= -2\)

Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \(± i\sqrt2\) và \(± i\sqrt5\).

 

===============

Bài 4. Cho \(a, b, c \in \mathbb R\), \(a \ne 0\), \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình \(a{z^2} + {\rm{ }}bz{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và\({z_1} {z_2}\) theo các hệ số \(a, b, c\).

Hướng dẫn giải:

Yêu cầu của bài toán này là kiểm chứng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai trên tập số phức.

+) Trường hợp \(∆ ≥ 0\) ta đã biết kết quả theo định lí vi-ét.

+) Trường hợp \(∆ < 0\), từ công thức nghiệm

\({z_1} =  \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\), \({z_2}= \frac{-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}\) với \(|∆| = 4ac – b^2\)

\({z_1} + {z_2}\) = \( \frac{-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |}-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |}}{2a}=-\frac{b}{a}\)

\({z_1} {z_2} = \frac{(-b+i\sqrt{|\bigtriangleup |})(-b-i\sqrt{|\bigtriangleup |})}{2a.2a}=\frac{b^{2}+|\bigtriangleup |}{4a^{2}}=\frac{b^{2}+4ac-b^{2}}{4a^{2}}=\frac{c}{a}\)

 

=============

Bài 5. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm

Hướng dẫn giải:

Một phương trình bậc hai nhận \(z\) và \( \overline{z}\) làm nghiệm là

\((x – z)(x –  \overline{z})= 0\) hay \(x^2 -(z + \overline{z})x + z \overline{z}= 0\).

Nếu \(z = a + bi\) thì \(z + \overline{z}= 2a\), \(z\overline{z} = a^2 +b^2\)

Vậy một phương trình bậc hai cần tìm là \({x^2}-2ax + {a^2} + {b^2} = 0\)