Giải bài tập SGK bài 4 Đường tiệm cận – Toán 12

Giải bài tập SGK bài 4 Đường tiệm cận – Toán 12

Giải bài tập SGK bài 4 Đường tiệm cận – Toán 12

*************

Bài tập 1 trang 30 SGK Giải tích 12

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a)  \(y=\frac{x}{2-x}\).

b) \(y=\frac{-x+7}{x+1}\).

c)  \(y=\frac{2x-5}{5x-2}\).

d) \(y=\frac{7}{x}-1\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 1

Để giải câu a, b, c, d của bài 1, các em cùng ôn lại lý thuyết về sự tồn tại tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

• Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
  • \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
  •  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)
• Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
  • \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
  • \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

Với hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( {c \ne 0;ad – bc \ne 0} \right)\) ta có thể suy ra ngay tiệm cận ngang là đường thẳng y=a/c, tiệm cận đứng là đường thẳng x=-d/c.

Lời giải chi tiết các câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a:

• Ta có:  ; nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Ta có:  ;  nên đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b:

• Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – \infty\) nên x=-1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x + 7}}{{x + 1}} = – 1\) nên đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu c:

• Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ + }} \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = – \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^ – }} \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = + \infty\) nên đường thẳng \(x=\frac{2}{5}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = \frac{2}{5};\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 5}}{{5x – 2}} = \frac{2}{5}\) nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y=\frac{2}{5}\) làm tiệm cận ngang.

Câu d:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = – 1;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = – 1\) nên đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {\frac{7}{x} – 1} \right) = – \infty\) nên đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài tập 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

a) \(y=\frac{2-x}{9-x^2}\) ;

b) \(y=\frac{x^2+x+1}{3-2x-5x^2}\);

c) \(y=\frac{x^2-3x+2}{x+1}\);

d) \(y=\frac{\sqrt {x}+1}{\sqrt {x}-1}\);

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Trước khi giải bài 2 ta cùng nhắc lại về điều kiện sự tồn tại tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

Với hàm số \(y=f(x) = \frac{{h(x)}}{{g(x)}}\)  để tìm tiệm cận đứng ta tiến hành giải phương trình g(x)=0. Giả sử nếu x0 là nghiệm của phương trình g(x)=0, nếu h(x₀) khác 0, thì đường thẳng x=x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=f(x).

Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 2 như sau:

Câu a:

• \(\lim_{x\rightarrow (-3)^-}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\); \(\lim_{x\rightarrow (-3)^+}\frac{2-x}{9-x^2}=+\infty\) nên đường thẳng x=-3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
•  \(\lim_{x\rightarrow 3^-}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\); \(\lim_{x\rightarrow 3^+}\frac{2-x}{9-x^2}=-\infty\) nên đường thẳng x=3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\); \(\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2-x}{9-x^2}=0\)  nên đường thẳng:y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Câu b:

• Vì:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^ – }} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = + \infty \end{array}\)

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng: \(x=-1;x=\frac{3}{5}\).

• Vì: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \frac{1}{5};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} + x + 1}}{{3 – 2x – 5{x^2}}} = – \frac{1}{5}\)

Nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=-\frac{1}{5}\).

Câu c:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ – }} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = – \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( – 1)}^ +}} \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty\) nên đường thẳng x=-1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
•  \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^2(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}{x(1+\frac{1}{x})}=-\infty\) và \(\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim}\frac{x^{2}-3x+2}{x+1}=+\infty\) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Câu d:

Hàm số xác định khi:  \(\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ \sqrt{x}-1\neq 0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ x\neq 1 \end{matrix}\right.\)

Vì  \(\lim_{x\rightarrow 1^-}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty\)( hoặc \(\lim_{x\rightarrow 1^+}\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty\) ) nên đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì  \(\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}(1-\frac{1}{\sqrt{x}})}=1\) nên đường thẳng y = 1 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.