Bài 4: Đường tiệm cận – Toán 12

Bài 4: Đường tiệm cận – Toán 12

1. Đường tiệm cận ngang

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(y=b\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow -\infty } f(x) = b\)
•  \(\lim_{x\rightarrow +\infty } f(x) = b\)

b) Chú ý

• Điều kiện để đồ thị hàm số \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\)   có tiệm cận ngang là bậc của đa thức P(x) bé hơn hoặc bằng bậc của đa thức Q(x).
• Tổng quát: Xét hàm số \(y = \frac{a_nx^n + … + a_0}{b_mx^m + … + b_0} \ \ \ m, n \in N; a_n\neq 0; b_m\neq 0\).
  • Điều kiện để hàm số có tiệm cận ngang là \(n\leq m.\)
  • Nếu \(n=m\): tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = \frac{a_n}{b_m}\)
  • Nếu \(n<m\) tiệm cận ngang là đường thẳng \(y=0.\)

2. Đường tiệm cận đứng

a) Định nghĩa

Đường thẳng \(x=a\) được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\) nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

• \(\lim_{x\rightarrow a^+} f(x) = \pm \infty\)
• \(\lim_{x\rightarrow a^-} f(x) = \pm \infty\)

b) Chú ý

• Đường thẳng \(x=a\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị \(y = f(x)\) thì a không thuộc tập xác định của \(f(x)\).
• Đối với hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) thì a là nghiệm Q(x)=0.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Lời giải:

• TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}\)
• Ta có:

​\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = 2 \end{array}\)

• Vậy đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).
• Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ – }} \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = – \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 2} \right)}^ + }} \frac{{2x – 1}}{{x + 2}} = + \infty \end{array}\)

• Vậy đường thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+2}\).

Ví dụ 2:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.\)

Lời giải: 

• TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{1 \right\}\)​
• Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \end{array}\)

• Vậy đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}}.\)
• Ta có:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = + \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{{x^2} – x + 1}}{{x – 1}} = – \infty \end{array}\)

• Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Ví dụ 3:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Lời giải:

• TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}\)​
• Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{ – x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = – 1\)

• Suy ra đường thẳng y=-1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
• Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x} = 1\)

• Suy ra đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)
• Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = – \infty\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = + \infty\)

• Suy ra đường thẳng x=0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}.\)

Ví dụ 4:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}}\).

Lời giải: 

• Ta có: \(y = 1 + \sqrt {1 – {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 1 \le x \le 1\\ y \ge 1\\ {x^2} + {(y – 1)^2} = 1 \end{array} \right.\)
• Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I(0;1) bán kính R=1.
• Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận.