Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

toan 12
Giải bài tập SGK Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

Câu 1: Trang 89 – sgk hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=(2;-3;1)$

b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$) có phương trình: $x + y – z + 5 = 0$

c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t &  & \\y=-3+3t  &  & \\ z=4t &  & \end{matrix}\right.$

d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình đường thẳng d có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=5+2t &  & \\y=4-3t  &  & \\ z=1+t &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$

b) Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ($\alpha$): $x + y – z + 5 = 0$

=> vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;1;-1)$.

=> Phương trình đường thẳng d có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=2+t &  & \\y=-1+t  &  & \\ z=3-t &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$

c) Vì d // ∆  nên $\overrightarrow{u}=(2;3;4)$ cũng là vectơ chỉ phương của d.

=> Phương trình tham số của d có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=2+2t &  & \\y=3t  &  & \\ z=-3+4t &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$

d) Đường thẳng d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4)

=> vectơ chỉ phương $\overrightarrow{PQ}=(4 ; 2 ; -1)$

=> Phương trình tham số có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=1+4t &  & \\y=2+2t  &  & \\ z=5-s &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$

==========

Câu 2: Trang 89 – sgk hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng

d: $\left\{\begin{matrix}x=2+t &  & \\y=-3+2t  &  & \\ z=1+3t &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$  lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy)

b) (Oyz)

Hướng dẫn giải:

Ta có: $M(2;-3;1) và N(3;-1;4) \in d$

Gọi M’ và N’ là hình chiếu của M và N lên mp(Oxy)

=> M'(2;-3;0) và N'(3;-1;0)

=> $\overrightarrow{MN}=(1;2;0)$

=> Đường thẳng M’N’ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mp(Oxy).

=> Phương trình tham số của đường thẳng M’N’ lên mp(Oxy) có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=2+t &  & \\y=-3+2t  &  & \\ z=0 &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$

b) Tương tự:

=> Phương trình tham số của đường thẳng lên mp(Oyz) có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=0 &  & \\y=-3+2t  &  & \\ z=1+3t &  & \end{matrix}\right.(t \in R)$

 

===============

Câu 3: Trang 90 sgk hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau:

a) d: $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t &  & \\y=-2+3t  &  & \\ z=6+4t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=5+t’ &  & \\y=-1-4t’  &  & \\ z=20+t’ &  &\end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\y=2+t  &  & \\ z=3-t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1+2t’ &  & \\y=-1+2t’  &  & \\ z=2-2t’ &  & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\left\{\begin{matrix}-3+2t=5+t’ &  & \\-2+3t=-1-4t’  &  & \\ 6+4t=20+t’ &  & \end{matrix}\right.$

=> $\left\{\begin{matrix}t=3 & \\ t’=-2 & \end{matrix}\right.$

Thay vào hệ trên ta được: A(3;7;8)

Vậy d và d’ cắt nhau tại điểm A(3;7;8).

b) Ta có: $\left\{\begin{matrix}1+t=1+2t’ &  & \\2+t=-1+2t’  &  & \\ 3-t=2-2t’ &  & \end{matrix}\right.$

Mặt khác : $\overrightarrow{u_{1}}=(1;1;-1)$

$\overrightarrow{u_{2}}=(2;2;-1)$

=> $\overrightarrow{u_{1}}$ và $\overrightarrow{u_{2}}$ cùng phương.

Ta thấy $M(1;2;3) \in d$ nhưng $M \notin d’$

=> $d // d’$.

==============

Câu 4: Trang 90 – sgk hình học 12

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

d: $\left\{\begin{matrix}x=1+at &  & \\y=t  &  & \\ z=-1+2t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1-t’ &  & \\y=2+2t’  &  & \\ z=3-t’ &  & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra để d và d’ cắt nhau

<=> $\left\{\begin{matrix}1+at=1-t’ &  & \\t=2+2t’  &  & \\ -1+2t=3-t’ &  & \end{matrix}\right.$ có duy nhất một nghiệm.

Giải hệ ta được: $\left\{\begin{matrix}t=2 & \\ t’=0 & \end{matrix}\right.$

Thay giá trị vào pt: $1+2a=1 => a=0$

Vậy để d và d’ cắt nhau <=> $a=0$.

=================

Câu 5: Trang 90 – sgk hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\alpha$) trong các trường hợp sau:

a) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t &  & \\y=9+3t  &  & \\ z=1+t &  & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $3x+5y-z-2=0$

b) d: $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\y=2-t  &  & \\ z=1+2t &  & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+3y+z+1=0$

c) d: $\left\{\begin{matrix}x=12+4t &  & \\y=1+2t  &  & \\ z=2-3t &  & \end{matrix}\right.$ và ($\alpha$): $x+y+z-4=0$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(4;3;1)$

$\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(3;5;-1)$

=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=12+15-1=26 \neq 0$

=> $d$ cắt $(\alpha) $.

b) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(1;-1;-2)$

$\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(1;3;1)$

=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=1-3+2= 0$

=> $d//(\alpha)$ hoặc $d \subset (\alpha) $

Mặt khác: $M(1;2;1) \in d$ nhưng $M \notin (\alpha)$

=> $d//(\alpha)$.

c) Ta có: $\overrightarrow{u_{d}}=(1;2;3)$

$\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(1;1;1)$

=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=1+2-3= 0$

=> $d//(\alpha)$ hoặc $d \subset (\alpha) $

Mặt khác: $M(1;2;1) \in d$ và $M \in (\alpha)$

=> $d \subset (\alpha) $.

============

Câu 6: Trang 90 – sgk hình học 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng

∆ : $\left\{\begin{matrix}x=-3+2t &  & \\y=-1+3t  &  & \\ z=-1+2t &  & \end{matrix}\right.$ và mp($\alpha$): $2x-2y+z+3=0$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng  ∆ qua $M(-3;-1;-1)$  có $\overrightarrow{u_{d}}=(2;3;2)$

Và $\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=(2;-2;1)$

=> $\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{n_{(\alpha)}}=4-6+2=0$

=> $\Delta //(\alpha )$ hoặc $\Delta \subset (\alpha )$

Mặt khác: $M(-3;-1;-1)\in \Delta $ nhưng $M\notin (\alpha )$

=> $\Delta //(\alpha )$.

=> $d(\Delta ,(\alpha ))=d(M,(\alpha ))=\frac{\left | 2.(-3)-2(-1)-1+3 \right |}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2}{3}$

Vậy $d(\Delta ,(\alpha ))=\frac{2}{3}$.

==============

Câu 7: Trang 91 – sgk hình học 12

Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: $\left\{\begin{matrix}x=2+t &  & \\y=1+2t  &  & \\ z=t &  & \end{matrix}\right.$

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải:

Giả sử $H(2+t;1+2t;t)\in \Delta $

=> $\overrightarrow{AH}=(1+t;1+2t;t)$

Ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(1;2;1)$

Theo bài ra: H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆

=> $AH\perp \Delta <=> \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{u_{\Delta }}=0$

<=> $1+t+2(1+2t)+t=0$

<=> $t=\frac{-1}{2}$

=> $H(\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2})$

b) Theo bài ra: A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆

=> H là trung điểm AA’.

=> $\left\{\begin{matrix}x_{A’}=2x_{H}-x_{A}=2 &  & \\ y_{A’}=2y_{H}-y_{A}=0 &  & \\ z_{A’}=2z_{H}-z_{A}=-1 &  & \end{matrix}\right.$

=> $A'(2;0;-1)$

Vậy $A'(2;0;-1)$.

===============

Câu 8: Trang 91 – sgk hình học 12

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng ($\alpha$): $x + y + z – 1 = 0$

a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$).

b)Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ($\alpha$).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ($\alpha$).

Hướng dẫn giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$)

=> Phương trình tham số của đường thẳng MH có dạng: $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\ y=4+t &  & \\ z=2+t &  & \end{matrix}\right.$

Thay vào pt mp($\alpha$), ta được: $t=-2$

=> $H(-1;2;0)$.

b) Theo bài ra: M đối xứng với M qua mặt phẳng ($\alpha$)

=>  H là trung điểm MM’.

=> $\left\{\begin{matrix}x_{M’}=2x_{H}-x_{M}=-3 &  & \\ y_{M’}=2y_{H}-y_{M}=0 &  & \\ z_{M’}=2z_{H}-z_{M}=-2 &  & \end{matrix}\right.$

=> $M'(-3;0;-2)$.

c) $d(M,(\alpha ))=MH=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$

Vậy $d(M,(\alpha ))=2\sqrt{3}$

===============

Câu 9: Trang 91 – sgk hình học 12

Cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{matrix}x=1-t &  & \\y=2+2t  &  & \\ z=3t &  & \end{matrix}\right.$ và d’: $\left\{\begin{matrix}x=1+t &  & \\y=3-2t  &  & \\ z=1 &  & \end{matrix}\right.$

Chứng minh d và d’ chéo nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có:  $\overrightarrow{u_{d}}=(-1;2;3)$

$\overrightarrow{u_{d’}}=(1;-2;0)$

=> $\overrightarrow{u_{d}}$ và $\overrightarrow{u_{d’}}$ không cùng phương.

Mặt khác, xét hệ pt sau: $\left\{\begin{matrix}1-t=1+t &  & \\ 2+2t=3-2t &  & \\ 3t=1 &  & \end{matrix}\right.$

Ta thấy: Hệ trên vô nghiệm.

=> Hai đường thẳng d và d’ chép nhau.  ( đpcm)

==============

Câu 10: Trang 91 – sgk hình học 12

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1.

Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và (B’D’C).

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập SGK Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ;  0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)

=> B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0).

=> Phương trình mặt phẳng (A’BD) có dạng: $x + y + z – 1 = 0$                  (1)

=> $d(A,(A’BD ))=\frac{\left | 0+0+0-1 \right |}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Mặt khác: mp(B’D’C) // mp(A’BD)

=> Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng: $x+y+z+D=0$

Ta lại có: mp(B’D’C) đi qua $C(1;1;0) => D=-2$

=> Phương trình mặt phẳng (B’D’C) có dạng: $x+y+z-2=0$

=> $d(A,(B’D’C ))=\frac{\left | 0+0+0-2 \right |}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$