Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập Bài 3 Lôgarit – Giải tích 12

toan 12
Giải bài tập Bài 3 Lôgarit – Giải tích 12

Câu 1: Trang 68- sgk giải tích 12

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) $\log _{2}\frac{1}{8}$

b) $\log _{\frac{1}{4}}2$

c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$

d) $\log _{0,5}0,125$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức Lôgarit, ta có:

a)  $\log _{2}\frac{1}{8}$

= $\log _{2}2^{-3}=-3$

Vậy $\log _{2}\frac{1}{8}=-3$

b) $\log _{\frac{1}{4}}2$

= $\log _{2^{-2}}2$

= $\frac{-1}{2}\log _{2}2=\frac{-1}{2}$

Vậy $\log _{\frac{1}{4}}2=\frac{-1}{2}$

c) $\log _{3}\sqrt[4]{3}$

= $\log _{3}3^{\frac{1}{4}}$

= $\frac{1}{4}\log _{3}3=\frac{1}{4}$

Vậy $\log _{3}\sqrt[4]{3}=\frac{1}{4}$

d) $\log _{0,5}0,125$

= $\log _{0,5}(0,5^{3})$

= $3\log _{0,5}0,5=3$

Vậy $\log _{0,5}0,125=3$

***********

Giải bài 2 trang 68 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính:

a) \({4^{log_{2}3}}\);                       b) \({27^{log_{9}2}}\);

c) \({9^{log_{{\sqrt 3 }}2}}\)                      d) \({4^{log_{8}27}}\);.

+) Công thức lũy thừa:  \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};\;\;\sqrt {{a^m}}  = {a^{\frac{m}{2}}}.\)

+) Sử dụng công thức logarit:  \({a^{{{\log }_a}b}} = b; \, \, {\log _a}{b^n} = n{\log _a}b;\;\;{\log _{{a^m}}}b = \frac{1}{m}{\log _a}b .\)

Lời giải chi tiết

a) \({4^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).

\(\eqalign{ b) & {27^{lo{g_9}2}} = {\left( {{3^3}} \right)^{lo{g_9}2}} = {\left( {{9^{{1 \over 2}}}} \right)^{3lo{g_9}2}} \cr & = {\left( {{9^{lo{g_9}2}}} \right)^{{3 \over 2}}} = {2^{{3 \over 2}}} = 2\sqrt 2 \cr} \)

c) \({9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right)^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}} \right)^4} = {2^4} \)\(= 16\)

d)  Có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\rm{27 = }}lo{g_{{2^3}}}{3^3} = {3 \over 3}lo{g_2}3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{3}}\)

nên \({4^{lo{g_8}27}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).

*********************

Câu 3: Trang 68- sgk giải tích 12

Rút gọn biểu thức:

a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$

b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a) $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2$

= $\log _{8}9.\log _{3}6.\log _{6}2$

= $\log _{8}9.\log _{3}2$

= $\frac{\log _{3}2}{\log _{8}9}$

= $\frac{2\log _{3}2}{3\log _{3}2}=\frac{2}{3}$

Vậy $\log _{3}6.\log _{8}9.\log _{6}2=\frac{2}{3}$

b) $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}$

= $2\log _{a}.\left |b  \right |+2\log _{a}\left |b  \right |$

= $4\log _{a}\left |b  \right |$

Vậy $\log _{a}b^{2}+\log _{a^{2}}b^{4}=4\log _{a}\left |b  \right |$

***********

Câu 4: Trang 68- sgk giải tích 12

So sánh các cặp số sau:

a) $\log _{3}5$ và $\log _{7}4$

b) $\log _{0,3}2$ và $\log _{5}3$

c) $\log _{2}10$ và $\log _{5}30$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

a) Vì $\log _{3}3=1$

=> $\log _{3}5>1$  (1)

Tương tự: $\log _{7}7=1$

=> $\log _{7}4<1$  (2)

Từ (1),(2)  => $\log _{3}5>$\log _{7}4$

b) Tương tự:

$\log _{0,3}0,3=1$

=> $\log _{0,3}2>1$   (1)

$\log _{5}5=1$

=> $\log _{5}3<1$  (2)

Từ (1),(2)  => $\log _{0,3}2>\log _{5}3$

c) Ta có: $\log _{2}10=\log _{2}2.5=\log _{2}2+\log _{2}5=1+\log _{2}5$

Mặt khác: $2^{\log _{2}5}=5$

$2^{2}=4$

=> $2^{\log _{2}5}>2^{2}$

=> $\log _{2}5 >2$

=> $\log _{2}10>3$   (*)

$\log _{5}30=\log _{5}5.6=\log _{5}5+\log _{5}6=1+\log _{5}6$

Mà:  $5^{\log _{5}6}=6$

$5^{2}=25$

=> $5^{\log _{5}6}<5^{2}$

=> $\log _{5}6<2$

=> $\log _{5}30<3$  (**)

Từ (*),(**) =>  $\log _{2}10>\log _{5}30$

**********

Câu 5: Trang 68- sgk giải tích 12

a) Cho $a=\log _{30}3$, $b=\log _{30}5$.

Hãy tính $\log _{30}1350$ theo a, b.

b) Cho $c=\log _{15}3$. Hãy tính $\log _{25}15$ theo c.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng công thức Lôgarit , ta được:

a)  $\log _{30}1350=\log _{30}3^{2}.5.30=\log _{30}3^{2}+\log _{30}5+\log _{30}30=2\log _{30}3+\log _{30}5+1=2a+b+1$

b) $\log _{25}15=\log _{5^{2}}15=\frac{1}{2}\log _{5}3.5=\frac{1}{2}(\log _{5}3+\log _{5}5)$

Mà theo bài ra: $c=\log _{15}3$

<=> $c=\frac{1}{\log _{3}15}=\frac{1}{\log _{3}3.5}=\frac{1}{1+\log _{3}5}$

=> $\log _{3}5=\frac{1}{c}-1$

=> $\log _{5}3=\frac{c}{1-c}$

=> $\log _{25}15=\frac{1}{2}(\frac{c}{1-c}+1)=\frac{1}{2(1-c)}$