Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán 12

toan 12
Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số – Toán 12

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.

  • M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M, \forall x\in D\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
  • m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu:  \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \exists x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).

2. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

  • Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
  •  Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
    • Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
    • Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
    • Khi đó :  Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Toán 12

Bài tập minh họa

1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Ví dụ 1: 

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
  • \(y’=3x^2-6x-9.\)
  • \(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 6x – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = – 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Toán 12

Vậy hàm số Maxy=10 ; Miny = -22

b)  Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)

  • ​\(y’=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
  • \(y’ = 0 \Rightarrow {x^2} – 2x – 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 – \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Toán 12

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.

2. Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Ví dụ 2:

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 1;0} \right]\).

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) trên đoạn \(\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2\).

Lời giải:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} – 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { – 1;0} \right]\).

  • \({f^/}\left( x \right) = – {x^2} + 2x – 2\)
  • \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow – {x^2} + 2x – 2 = 0\)
  • Ta có: \(f\left( { – 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – 1;0} \right]} = 1\)

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x – 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]\)

  • \({f^/}\left( x \right) = – \frac{5}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
  • Ta có: \(f\left( { – \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = – 3\)
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { – \frac{1}{2};1} \right]} = – 3\)

c)  Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x – 2\cos x + 2 = – c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x – 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
  • Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { – 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
  • Xét hàm số: \(g\left( t \right) = – {t^2} – 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
    • Ta có: \({g^/}\left( t \right) = – 2t – 2\)
    •   \({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = – 1\)
    • Tính: \(g\left( { – 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
  • Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} – 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} – 1;1]} g(t) = 0\).