Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Bài 2 Phương trình mặt phẳng

toan 12
Giải bài tập SGK Bài 2 Phương trình mặt phẳng

Câu 1: Trang 80 – sgk hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ $\overrightarrow{u}=(3;2;1)$ và $\overrightarrow{u}=(-3;0;1)$

c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng:

$2(x – 1) + 3(x +2) + 5(z – 4) = 0 <=> (P) : 2x + 3y + 5z -16 = 0$

b) Ta có: $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]=(2;-6;6)$

=> Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;-6;6)$ làm vectơ pháp tuyến có dạng:

$2(x – 0) – 6(y + 1) + 6(z – 2) = 0  <=> (Q) 😡 – 3y + 3z – 9 = 0$

c) Gọi (T) là mặt phẳng qua A, B, C.

=> $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ là vectơ chỉ phương của (T)

=> $\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]=(2;3;6)$

=> phương trình mặt phẳng (T) có dạng: $2x + 3y + 6z + 6 = 0$.

 

=============

Câu 2: Trang 80 – sgk hình học 12

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3).

Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm AB.

=> M( 3; 2; 5 ).

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB.

=> (P) đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}=(2;-2;-4)$

=> Phương trình mp(P) có dạng: $2(x-3)-(y-2)-4(z-5)=0<=> x-y-2z+9=0$

=============

Câu 3: Trang 80 – sgk hình học 12

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz và Ozx

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oxy) qua điểm O(0 ; 0 ; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=(0;0;1)$  và là vectơ chỉ phương của trục Oz.

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: $0.(x – 0) +0.(y – 0) +1.(z – 0) = 0<=> z=0$

Tương tự:

Phương trình mặt phẳng (Oyz) là : $x = 0$

Phương trình mặt phẳng (Ozx) là: $y = 0$

b) Mặt phẳng (P) qua điểm M(2; 6; -3) song song với mặt phẳng Oxy nhận $\overrightarrow{k}=(0;0;1)$ làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: $z +3 = 0$.

Tương tự:

Mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình: $x – 2 = 0$.

Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (Oxz) có phương trình: $y – 6 = 0$.

==============

Câu 4: Trang 80  – sgk hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng:

a) Chứa trục Ox và điểm P(4; -1; 2).

b) Chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3).

c) Chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7).

Hướng dẫn giải:

a) Gọi mặt phẳng chứa P(4; -1; 2) và trục Ox là mp(Q).

Vì chứa trục Ox => $\overrightarrow{n}=(0;-2;-1)$

=> mp(Q) có dạng: $2y+z=0$.

b) Gọi mặt phẳng chứa trục Oy và điểm Q(1; 4; -3) là mp(P).

Vì chứa trục Oy => $\overrightarrow{n}=(-3;0;-1)$

=> mp(P) có dạng: $3x+z=0$.

c) Gọi mặt phẳng chứa trục Oz và điểm R(3; -4; 7) là mp(P).

Vì chứa trục Oz => $\overrightarrow{n}=(-4;-3;0)$

=> mp(P) có dạng: $4x+3y=0$.

=============

Câu 5: Trang 80 – sgk hình học 12

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6)

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AC}=(0;-1;1)$

$\overrightarrow{AD}=(-1;-1;3)$

=> $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AC}\wedge \overrightarrow{AD}=(-2;-1;-1)$

=> Phương trình mp(ACD) là: $-2(x-5)-1(y-1)-1(z-3)=0<=>2x+y+z-14=0$

Phương trình mp(BCD) là: $6x+5y+3z-42=0$

b) Gọi phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD là mp(P).

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-4;5;-1)$

$\overrightarrow{CD}=(-1;0;2)$

=> $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{CD}=(10;9;5)$

=> Phương trình mp(P) có dạng: $10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0<=> 10x+9y+5z-74=0$

=============

Câu 6: Trang 80 – sgk hình học 12

Hãy viết phương trình mặt phẳng ($\alpha$) đi qua điểm M(2; -1; 2) và song song với mặt phẳng ($\beta$) : $2x – y + 3z + 4 = 0$.

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra: mặt phẳng ($\alpha$) song song với mặt phẳng ($\beta$) : $2x – y + 3z + 4 = 0$.

=> phương trình của mp($\alpha$) có dạng: $2x – y + 3z + D = 0$

Mặt khác: $M(2; -1; 2) \in mp(\alpha) <=> 4 + 1 + 6 + D = 0$

<=> $D = -11$.

Vậy phương trình của mp($\alpha$) là: $2x – y + 3z – 11= 0$

 

==================

Câu 7: Trang 80 – sgk hình học 12

Lập phương trình mặt phẳng ($\alpha$) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng ($\beta$): $2x – y + z – 7 = 0$.

Hướng dẫn giải:

Xét mp($\beta$) có $\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$

$\overrightarrow{AB}=(4;2;2)$

=> Mặt phẳng ($\alpha$) có: $\overrightarrow{m}=[\overrightarrow{n},\overrightarrow{AB}]=(4;0;-8)$

=> Phương trình mặt phẳng ($\alpha$) là: $4(x-1)+0(y-0)+(-8)(z-1)=0 <=> x-2z+1=0$.

 

===============

Câu 8: Trang 80 – sgk hình học 12

Xác định các giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau;

a) $2x + my + 3z – 5 = 0$ và $nx – 8y – 6z + 2 =0$

b) $3x – 5y + mz – 3 = 0$ và $2x + ny – 3z + 1 = 0$

Hướng dẫn giải:

a) Để $(\alpha )//(\beta )<=>\frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{-6}\neq \frac{-5}{2}$

<=> $\left\{\begin{matrix}3.n=3.4 & \\ -6.m=3.(-8) & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}n=-4 & \\ m=4 & \end{matrix}\right.$

Vậy $\left\{\begin{matrix}n=-4 & \\ m=4 & \end{matrix}\right.$

b) Để $(\alpha )//(\beta )<=>\frac{3}{2}=\frac{-5}{n}=\frac{m}{-3}\neq \frac{-3}{1}$

<=> $\left\{\begin{matrix}3.n=2.(-5) & \\ 2.m=3.(-3) & \end{matrix}\right.<=> \left\{\begin{matrix}n=\frac{-10}{3} & \\ m=\frac{-9}{2} & \end{matrix}\right.$

Vậy $\left\{\begin{matrix}n=\frac{-10}{3} & \\ m=\frac{-9}{2} & \end{matrix}\right.$

===============

Câu 9: Trang 81 – sgk hình học 12

Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) $2x – y + 2z – 9 = 0 (\alpha)$

b) $12x – 5z + 5 = 0 ( \beta)$

c) $x=0$

Hướng dẫn giải:

a) $d(A,(\alpha))=\frac{\left | 2.2-4+2.(-3)-9 \right |}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{15}{3}=5$

b) $d(A,(\beta))=\frac{\left | 12.2-5.(-3)+5 \right |}{\sqrt{144+25}}=\frac{44}{13}$

c) $d(A,(\gamma ))=2$

 

==============

Bài 10. Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.

Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh bằng \(1\).

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng \((AB’D’)\) và \((BC’D)\) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Giải.

Giải bài tập SGK Bài 2 Phương trình mặt phẳng

Xét hệ trục tọa độ \(Oxyz\) trong không gian sao cho \(A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1 ; 0)\),\((A'(0 ; 0 ; 1)\). Khi đó \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C'(1 ; 1 ; 1)\).

a) Mặt phẳng \((AB’D’)\) qua điểm \(A\) và nhận vevtơ  \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB’},\overrightarrow{AD’} \right ]\)  làm vectơ pháp tuyến. Ta có \(\overrightarrow{AB’} = (1 ; 0 ; 1)\), \(\overrightarrow{AD’} = (0 ; 1 ; 1)\)  và \(\overrightarrow{n} = (-1 ; -1 ; 1)\).

Phương trình mặt phẳng \((AB’D’)\) có dạng:

\(x + y – z = 0\).                (1)

Tương tự, mặt phẳng \((BC’D)\) qua điểm \(B\) nhận vectơ \(\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC’} \right ]\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow{BD} = (-1 ; 1 ; 0)\), \(\overrightarrow{BC’} = (0 ; 1 ; 1)\) và \(\overrightarrow{m} = (1 ; 1 ; -1)\).

Phương trình mặt phẳng \((BC’D)\) có dạng:

\( x + y – z – 1 = 0\).              (2)

So sánh hai phương trình  (1) và (2), ta thấy hai mặt phẳng \((AB’D’)\) và \((BC’D)\) song song với nhau.

Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:

Xét hai mặt phẳng \((AB’D’)\) và \((BC’D)\), ta có \(BD // B’D’\) vì \(BB’D’D\) là hình chữ nhật, \(AD’ // BC’\) vì \(ABC’D’\) là hình chữ nhật.

Do đó mặt phẳng \((AB’D’)\) có hai đường thẳng cắt nhau \(B’D’\) và \(AD’\) lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau \(BD\) và \(BC’\) của mặt phẳng \((BC’D)\). Vì vậy \((AB’D’) // (BC’D)\)

 

b) Vì \((AB’D’) // (BC’D)\) nên khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((BC’D)\) chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:

\(h=d(A,(BC’D))=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\).