Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập Bài 2 Mặt cầu – Hình học 12

toan 12
Giải bài tập Bài 2 Mặt cầu – Hình học 12

Câu 1 (Trang49/SGK)

Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian luôn luôn nhìn một đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là trung điểm đoạn thẳng AB.

Xét tam giác AMB vuông tại M nên trung tuyến MO bằng nửa cạnh huyến <=> $OM=\frac{AB}{2}=R$

=> $M \in S(O;R)$

Mặt khác: lấy $M \in S(O; \frac{AB}{2})$ có: $OM=\frac{AB}{2}$

=> Tam giác AMB vuông tại M.

Kết luận: Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu tâm O,đường kính AB.

***********************

Câu 2 (Trang 49 SGK)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra: ABCD là hình vuông có cạnh là a.

=> $AC=BD=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}=OS$

=> $OA=OB=OC=OD=OS=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vậy mặt cầu S có tâm là O, bán kính $R=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

***********************

Câu 3 (Trang 49 SGK)

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn chứa một đường tròn cố định cho trước.

Hướng dẫn giải:

Giả sử đường tròn cố định (C) tâm I bán kính r nằm trên mặt phẳng (P).

Xét đường thẳng d qua I và vuông góc với mặt phẳng (P)

=> Đường thẳng d được gọi là trục của đường tròn.

Giả sử O là tâm của mặt cầu (S) chứa đường tròn (C) thì O cách đều mọi điểm của (C).Vì vậy chân đường vuông góc hạc từ O xuống mặt phẳng (P) chính là tâm I của (C).

Kết luận: Tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước là đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tại tâm của nó.

********************

Câu 4 (Trang 49 SGK)

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 2 Mặt cầu - Hình học 12

Giả sử tam giác ABC cho trước nằm trong mặt phẳng (P).

=> mặt cầu (S) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC sẽ giao với mặt phẳng (P) theo một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC (chính là đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

=> Tập hợp tâm các mặt cầu luôn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác  ABC là trục đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

*****************

Câu 5 (Trang 48 SGK)

Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; R), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo R và d.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 2 Mặt cầu - Hình học 12

a) Hai đường thẳng $M_{AB}$ và $M_{CD}$ giao nhau xác định một mặt phẳng (P).

=> Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn (C), ngoại tiếp tứ giác phẳng ABCD.

Trong mặt phẳng (P) thì các tích MA.MB và MC.MD là giá trị của phương tích của điểm M đối với đường tròn (C),

=> MA.MB = MC.MD  ( đpcm)

b) Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn và phương tích của điểm M đối với đường tròn này là :

$P_{M/(O)} = MA.MB = d^{2} – R^{2}$ (vì d > R).

Vậy $MA.MB = d^{2} – R^{2}$.

*******************

Câu 6 (Trang 49 SGK)

Cho mặt cầu (O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O. Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến của mặt cầu cắt (P) tại A và B.

Chứng minh rằng: $\widehat{AMB}=\widehat{AIB}$.

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu $S(O;R)$ tiếp xúc với mp(P) tại I và $IA \in mp(P)$

=> AI là tiếp tuyến tại I của mặt cầu.

=> AM và AI là hai tiếp tuyến của mặt cầu.

=> AM = AI.

Tương tự: BM = BI

=> $\triangle AMB=\triangle AIB$

=> $\widehat{AMB}=\widehat{AIB}$.  (đpcm)

*******************

Câu 7 (Trang 49 SGK)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c.

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi O là tâm hình hộp chữ nhật ABCD

=> $OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ = \frac{AC’}{2}$

Mà $AC’=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

=> $OA = OB = OC = OD = OA’ = OB’ = OC’ = OD’ = \frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$

Vậy mặt cầu đi qua tám đỉnh hình hộp chữ nhật tâm O, bán kính $R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}$.

b) Giao tuyến của mặt phẳng ABCD với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là hai đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

=> Bán kính của đường tròn giao tuyến của mp(ABCD) với mặt cầu trên là:

$r=\frac{AC}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$

Vậy bán kính cần tìm bằng $r=\frac{1}{2}\sqrt{b^{2}+c^{2}}$.

*****************

Câu 8 (Trang 49 SGK)

Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tứ diện ABCD có mặt cầu tiếp xúc với cả 6 cạnh của tứ diện; tiếp xúc với AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S.

Vì các đoạn thẳng kẻ từ một điểm đến tiếp điểm của các tiếp tuyến đó bằng nhau

=> $\left\{\begin{matrix}AM=AN=AP=a &  &  & \\ BM=BQ=BS=b &  &  & \\ CQ=CN=CR=c &  &  & \\ DP=DR=DS=d &  &  & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix}AB+CD=a+b+d+c &  & \\ AC+BD=a+d+b+c &  & \\ AD+BC=a+c+b+d &  & \end{matrix}\right.$

<=> $AB+CD=AC+BD= AD+BC$   (đpcm).

******************

Câu 9 (Trang 49 SGK)

Cho một điểm A cố định và một đường thẳng a cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên a.

Chứng minh rằng các mặt cầu tâm O bán kính r = OA luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Hướng dẫn giải:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng a tại H.

=>  (P) và H cố định.

Ta có: (P) cắt mặt cầu S(O; R) theo đường tròn tâm H và bán kính HA không đổi.

Vậy các mặt cầu tâm O bán kính R = OA luôn đi qua đường tròn cố định tâm H bán kính bằng HA.  (đpcm)

**************

Câu 10 (Trang 49 SGK)

Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc.

Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải:

Giải bài tập Bài 2 Mặt cầu - Hình học 12

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC

=> HB = HC

Kẻ $Ht\perp mp(SBC)$ => Ht // SA.

Mặt khác, ta có: $OS=OA=OB=OC=$

=> O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

=> Bán kính mặt cầu đó là: $R=OS=\sqrt{OH^{2}+SH^{2}}$

Mà $OH=IS=\frac{SA}{2}=\frac{a}{2}$

=> $SH=\frac{BC}{2}=\frac{\sqrt{SB^{2}+SC^{2}}}{2}=\frac{b^{2}+c^{2}}{2}$

=> $R=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

Vậy bán kính là $R=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

Diện tích mặt cầu là:

$S=4\prod R^{2}=\prod (a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Thể tích khối cầu là:

$V=\frac{4}{3}\prod R^{3}=\frac{1}{6}\prod\sqrt{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}} $