Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

Tóm tắt lý thuyết

1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

• \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
• \(z_1-z_2=(a + bi) – ( c + di) = (a – c) + (b – d)i\)
• \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)

2. Nhận xét

• Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
• Với mọi \(z,z’\in\mathbb{C}\):
  • \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))
  • \( \overline{z+z’}\) = \( \bar{z}\) + \( \bar{z}\)’
  • \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
  • \(\left| {z.z’} \right| = \left| z \right|.\left| {z’} \right|\)
  • \(\left| {z + z’} \right| \le \left| z \right| + \left| {z’} \right|\)                                                                                                                                

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

• \(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
• \({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

• \({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i – \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
• \(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} – \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 – i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 – i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { – \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3:

Tìm số phức \(z\) biết \((2z – i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 – i) = 2 – 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a – bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi – 1)(1 + i) + (a – bi + 1)(1 – i) = 2 – 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a – 3b + (a + b – 2)i = 2 – 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a – 3b = 2\\ a + b – 2 = – 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ – 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4:

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z – 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z – 1 + i = (x – 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z – 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x – 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.