Chương 1: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Của Hàm Số
Chương 2 Hàm số lũy thừa, Hàm số mũ và Hàm số Lôgarit
Chương 3: Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng
Chương 4: Số phức
Chương 1: Khối Đa Diện
Chương 2: Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu
Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải bài tập SGK Bài 1 Nguyên hàm

toan 12
Giải bài tập SGK Bài 1 Nguyên hàm

Bài 1:Trang 100 – sgk giải tích 12

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) $e^{-x}$ và $-e^{-x}$

b) $\sin 2x$ và $\sin^{2} x$

c) $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$ và $(1-\frac{4}{x})e^{x}$

Hướng dẫn giải:

a) $\left [e^{-x}   \right ]’=-e^{-x}$

=> $e^{-x}$ là nguyên hàm của $-e^{-x}$

b) $\left [\sin^{2} x  \right ]’=2\sin x\cos x=\sin 2x$

=> $\sin^{2} x$ là nguyên hàm của $\sin 2x$.

c) $\left [(1-\frac{4}{x})e^{x}  \right ]’=(1-\frac{4}{x})’e^{x}+(1-\frac{4}{x})(e^{x})’=(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$

=> $(1-\frac{4}{x})e^{x}$ là nguyên hàm của $(1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}$.

======

 

Bài tập 2 trang 100-101 SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) \(\small f(x)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\).

b)  \(f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\).

c)  \(f(x)=\frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\).

d) \(f(x) = sin5x.cos3x\).

e) \(f(x) = tan^2x\).

g) \(f(x) = e^{3-2x}\).

h) \(f(x)=\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\).

 

Hướng dẫn giải chi tiết bài 2

Hướng dẫn:

Biến đổi các biểu thức đã cho về tổng các biểu thức mà ta có thể suy ra được ngay nguyên hàm theo công thức tìm nguyên hàm của các hàm số cơ bản đã được giới thiệu trong bài học.

ÁP dụng các tính chất:

  •  \(\int fk(x)dx=k\int f(x)dx\) (với k là hằng số khác 0).
  • \(\int {\left( {f(x) \pm g(x)} \right)dx} = \int {f(x)dx} \pm \int {g(x)dx}.\)

Lời giải:

Câu a:

\(f(x) = \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt[3]{x}}} = \frac{{x + {x^{\frac{1}{2}}} + 1}}{{{x^{\frac{1}{3}}}}} = {x^{\frac{2}{3}}} + {x^{\frac{1}{6}}} + {x^{-\frac{1}{3}}}\)

\(\Rightarrow \int {f(x)dx} = \frac{3}{5}{x^{\frac{5}{3}}} + \frac{6}{7}{x^{\frac{7}{6}}} + {\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}} + C.\)

Câu b: 

\(f(x) = \frac{{{2^x} – 1}}{{{e^x}}} = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} – {e^{ – x}}\)

\(\Rightarrow \int {f(x)dx}  = \int {\left( {\frac{{{{\left( {\frac{2}{e}} \right)}^x}}}{{\ln \frac{2}{e}}} + {e^{ – x}}} \right)} dx{\rm{}} = \frac{{{2^x}}}{{{e^x}(\ln 2 – 1)}} + \frac{1}{{{e^x}}} = \frac{{{2^x} + \ln 2 – 1}}{{{e^x}(\ln 2 – 1)}}.\)

Câu c:

\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2} + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x.co{s^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx = \tan x – \cot x + C} \end{array}\)

Câu d:

\(f(x) = \sin 5x.\cos 3xdx = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)\)

Vậy:

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{2}\int {\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right)dx} = – \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{8}\cos 8x + \frac{1}{2}\cos 2x} \right) + C\\ = – \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{4}\cos 8x + \cos 2x} \right) + C \end{array}\)

Câu e:

\(\begin{array}{l} f(x) = {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1\\ \Rightarrow \int {f(x)dx} = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right)dx} = \tan x – x + C. \end{array}\)

Câu g:

\(\int {f(x)dx} = \int {{e^{3 – 2x}}dx} = – \frac{1}{2}{e^{3 – 2x}} + C.\)

Câu h:

\(\begin{array}{l} f(x) = \frac{1}{{(1 + x)(1 – 2x)}} = \frac{a}{{1 + x}} + \frac{b}{{1 – 2x}}\\ = \frac{{a(1 – 2x) + b(1 + x)}}{{(1 + x)(1 – 2x)}} = \frac{{(b – 2a)x + a + b}}{{(1 + x)(1 – 2x)}}. \end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} b – 2a = 0\\ a + b = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{2}{3} \end{array} \right.\)

Vậy:

\(\begin{array}{l} \int {f(x)dx} = \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{1 + x}}dx} + \frac{2}{3}\int {\frac{1}{{1 – 2x}}dx} \\ = \frac{1}{3}\ln \left| {1 + x} \right| – \frac{1}{3}\ln \left| {2x – 1} \right| + C = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{2x – 1}}} \right| + C. \end{array}\)

 

================

Bài 3: Trang 101 – sgk giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a) $\int (1-x)^{9}dx$  đặt $u=1-x$

b) $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$  đặt $u=1+x^{2}$

c) $\int \cos ^{3}x\sin xdx$  đặt $t=\cos x$

d) $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$  đặt $u=e^{x}+1$

Hướng dẫn giải:

Nhận xét:

Đề bài yêu cầu tính cầu tính nguyên hàm của hàm số bằng phương pháp đổi biến số và cả 4 câu a, b, c, d đều cho sẵn cách đặt biến số mới.

a) $\int (1-x)^{9}dx$

Đặt $u=1-x  =>du=-dx$

=>  $\int (1-x)^{9}dx=-\int u^{9}du=\frac{-u^{10}}{10}+C$

=$\frac{-(1-x)^{10}}{10}+C$

b) $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx$

Đặt $u=1+x^{2} => du=2xdx$

=> $\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx=\frac{1}{2}u^{\frac{3}{2}}du$

=$\frac{\frac{1}{2}u^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{u^{\frac{5}{2}}}{5}+C$

=$\frac{(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}}{5}+C$

c) $\int \cos ^{3}x\sin xdx$

Đặt $t=\cos x => dt= -\sin xdx$

=> $\int \cos ^{3}x\sin xdx=-\int t^{3}dt$

<=> $\int \cos ^{3}x\sin xdx=-\frac{t^{4}}{4}+C$

<=> $\int \cos ^{3}x\sin xdx=-\frac{\cos^{4}x}{4}+C$

d) $\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}$

Đặt $u=e^{x}+1$ => $du=e^{x}dx$

$\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}=\int \frac{e^xdx}{e^{2x}+2e^{x}+1}=\int \frac{e^xdx}{(e^{x}+1)^2}$

=> $\int \frac{du}{u^{2}}=-\frac{1}{u}+C$

=$-\frac{1}{e^{x}+1}+C$

===============

Bài tập 4 trang 101 SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\small \int xln(1+x)dx\).

b) \(\int (x^2+2x+1)e^xdx\).

c) \(\small \int xsin(2x+1)dx\).

d) \(\small \int (1-x)cosxdx\).

Hướng dẫn giải chi tiết bài 4

Phương pháp:

Một số dạng nguyên hàm và cách đặt để tính bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:

  • Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

  • Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Áp dụng công thức: $\int {udv} = uv  –  \int {vdu}$

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 4 như sau:

Câu a:

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln (1 + x)\\ dv = xdx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\ v = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \int {x\ln (1 + x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) – \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}dx}}{{x + 1}}} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) – \frac{1}{2}\int {\left( {x – 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\ = \frac{{{x^2}}}{2}\ln (1 + x) – \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – x + \ln \left| {1 + x} \right|} \right) + C\\ = \frac{1}{2}({x^2} – 1)\ln (1 + x) – \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{x}{2} + C. \end{array}\)

Câu b:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2} + 2x – 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = (2x + 2)dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

\(\int {({x^2} + 2x + 1)} {e^x}dx = ({x^2} + 2x – 1){e^x} – 2\int {(x + 1){e^x}dx}\)

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x + 1\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.\)

Suy ra: \(\int {(x + 1){e^x}dx} = (x + 1){e^x} – \int {{e^x}dx} = x{e^x} + C\)

Vậy: \(\int {({x^2} + 2x – 1){e^x}dx} = ({x^2} + 2x – 1){e^x} – 2x{e^x} + C = ({x^2} – 1){e^x} + C.\)

Câu c:

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = \sin (2x + 1)dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = dx\\ v = – \frac{1}{2}\cos (2x + 1) \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \int {x\sin (2x + 1)dx} = – \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{2}\int {\cos (2x + 1)dx} \\ = – \frac{x}{2}\cos (2x + 1) + \frac{1}{4}\sin (2x + 1) + C. \end{array}\)

Câu d:

Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l} u = 1 – x\\ dv = \cos dx \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} du = – dx\\ v = \sin x \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \int {(1 – x)\cos xdx} = (1 – x)\sin x + \int {\sin xdx} \\ = (1 – x)\sin x – \cos x + C. \end{array}\)